Формула дифференцирования степенной функции

 

Используя ранее полученные формулу дифференцирования для функций первой, второй и третьей степеней:

для аргумента в первой, во второй и в третьей степени мы можем получить следующее:

Применяя метод математической индукции, формула производной степенной функции будет выглядеть следующим образом:

 

Приняв  и , получаются следующие формулы:

 

     и     

Формула дифференцирования показательной функции

 

 

(Использовался известный предел )

В случае , применяя определение натурального логарифма, для числа е получаем формулу:

 

Формула дифференцирования тригонометрических функций

А) синуса

(применялась формула разности синусов и использовался первый замечательный предел: )

 

 

Б) косинуса

 

(применялась формула разности косинусов и использовался первый замечательный предел: )

 

В) тангенса

,

По определению, . Воспользуемся формулой производной частного функций и основным тригонометрическим тождеством:

 

Г) котангенса

,

По определению, . Воспользуемся формулой производной частного функций и основным тригонометрическим тождеством:

Для нахождения производных логарифмической и обратных тригонометрических функций понадобится теорема о производной обратной функции, так как данные функции являются обратными к показательной и тригонометрическим функциям соответственно.

Производная обратной функции

Теорема. Если функция , и ее обратная функция имеют производные, то .

Опуская значение аргументов, получаем  или .

 

Формула дифференцирования логарифмической функции

 

Функция , где  является обратной к функции .

Используя формулу производной обратной функции, будем иметь:

,

.

 

Итак, . В частности, .

Формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций

А) арксинуса

 

Функция , , является обратной к функции , .

По правилу дифференцирования обратной функции

.

Выразим  через :

.

Под корнем следует брать знак «+», потому что  на промежутке  положителен.

Таким образом,

 

Б) арккосинуса

 

Функция , , является обратной к функции , .

 

 

В) арктангенса

Функция , , является обратной к функции , .

Используя основное тригонометрическое тождество, получаем следующее:

Г) арккотангенса

Функция , , является обратной к функции , .

 

Сложная функция и ее производная

 

Если переменная  зависит от переменной , а переменная , в свою очередь, зависит от переменной , то есть , то  называют сложной функцией. При этом  называют промежуточным аргументом, а  – окончательным аргументом (иногда  называют внутренней функцией, а  - внешней функцией).

Составление сложной функции из двух функций называют суперпозицие й этих функций.