Нахождение интегральной функция распределения НСВ

Пример: Дана плотность распределения случайной величины X:  

Требуется:

а) найти параметр A;

б) функцию распределения случайной величины X;

в) построить график функции распределения;

г) найти вероятность попадания случайной величины X в интервал .

Решение:

а) Параметр A подберем так, чтобы выполнялось свойство (2) плотности распределения: .

, .

Отсюда .

б) Функцию распределения  будем искать на каждом интервале отдельно.

Для значений

,

Для значений

.

Для значений

.

Таким образом,

График этой функции изображен на рисунке

в) Вероятность попадания случайной величины X в интервал  вычисляем по формуле :

.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение НСВ.

2. Плотность и функция распределения.

 

Задачи на закрепление материала

 

Дана плотность распределения f (x) случайной величины X. Требуется:

а) найти параметр c;

б) функцию распределения случайной величины X;

в) построить графики функции распределения и плотности распределения;

г) вероятность попадания случайной величины X в интервал .

1.

a = 0,1; b = 1,2.

2.

a = 2,5; b = 7,1.

 

3.Задан график плотности распределения с.в. Х

                                                   f(x)

 

 

                                                     а

 

                                                                        а             х

                1) Записать функцию f(x).

2)Найти F (x).

3)Построить графики функций F(x).

4)Вычислить Р(а/2<X<a).

 

 

Тема лекции: Числовые характеристики НСВ

 

Математическое ожидание с.в. Х находится по формул

М(Х)= ,

если сходится несобственный интеграл.

Дисперсией с.в. Х называют несобственный интеграл 

Д(Х)= ,

если он сходится.

Для вычисления дисперсии более удобна следующая формула:

Д(Х)=

Пример. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение с.в. Х.

Воспользуемся определениями.

.

.

.

.

Пример: Плотность распределения с.в. задана функцией

1) Найти а, F(x), М(Х), Д(Х).

2) Вычислить Р(-2<X<1/2).

Решение: Для нахождения параметра а воспользуемся свойством плотности распределения вероятностей:

Отсюда находим а= .

Тогда функцию плотности распределения можно записать следующим образом:

Найдем функцию распределения вероятностей F(x):

Для х<-1    F(x)=

Для -1≤х<0 F(x)=

Для 0≤х<1  

 Для х≥1    

Следовательно, функция распределения имеет вид:

Вычислим числовые характеристики с.в. Х.

 

Математическое ожидание

 

Дисперсия

 

2) Вычислим Р(-2<X<1/2).

Вычислить эту вероятность можно двумя способами: с помощью функции плотности или с помощью функции распределения вероятностей.

или

Р(-2<X<1/2)=F(1/2)-F(-2)=

 

Задачи на закрепление материала

 

Дана плотность распределения f (x) случайной величины X. Требуется:

а) найти параметр c;

б) функцию распределения случайной величины X;

в) найти числовые характеристики случайной величины X;

г) вероятность попадания случайной величины X в интервал .

 

10.

a = 3,2; b = 6,4.

20.

a = 1; b = 2.

Тема лекции: Основные распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение

Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, если на отрезке , которому принадлежат все возможные значения X, плотность распределения сохраняет постоянное значение, а именно:

,

вне этого отрезка .

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины определяются выражениями:

, .

 

Показательное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет показательное (или экспоненциальное) распределение, если ее плотность распределения имеет вид:

где , .

Числовые характеристики этого распределения определяются равенствами:

, .

 

Нормальное распределение

 

Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение (или распределение Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид:

.

Постоянные a и s (s > 0) называются параметрами нормального распределения и представляют собой соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины X, т. е.

, .

Отсюда .

График функции  называют нормальной кривой (или кривой Гаусса). Кривая имеет форму «колокола», симметричного относительно прямой  (рис. 1).

Функция распределения нормальной случайной величины

связана с функцией Лапласа соотношением

.

где  - функция Лапласа, таблицу значений которой можно найти в приложениях.

Замечание: Ф(х) - функция нечетная, т.е. Ф(-х)=-Ф(х).

Поэтому для нормальной случайной величины справедлива формула

.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормальной случайной величины меньше положительного чи с ла d, равна:

.

В частности,

.

Отсюда следует «правило трех сигм»: если случайная величина X имеет нормальное распределение, то отклонение этой случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превышает утроенное среднее квадратическое отклонение (3 s).

 

Нормальный закон – наиболее часто встречающийся закон распределения, он является предельным законом, к которому, при определенных условиях, приближаются другие законы распределения.

Пример. Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью вероятности . Требуется найти:

а) математическое ожидание и дисперсию X;

б) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ;

в) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X от математического ожидания окажется меньше 5.

Решение.

а) Сравнив данную функцию с плотностью нормального распределения, заключаем, что , . Следовательно, , .

б) Воспользуемся формулой .

В нашем случае , , a = 3; b = 10.

Значения  и  определили по таблице значений функции Лапласа.

в) Воспользуемся формулой , где , , d = 5.

.

 

Пример: Ошибка измерительного прибора - случайная величи­на, распределенная по нормальному закону, со средним квадратическим отклонением 3 мк. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Какова вероятность того, что в независимом измерении ошибка окажется в интервале (0; 2,4)?

Решение: Вычислим вероятность того, что в результате измерения случайная, величина Х - ошибка измерительного прибора будет принадлежать интервалу (0; 2,4):

Здесь математическое ожидание a=0 (так как систематическая ошибка отсутствует, то среднее значение ошибки при большом числе измерений будит равно нулю).

Ф(0)=0, Ф(0,8)=0,2881 находим по таблице Лапласа.

Теперь найдем вероятность события , состоящего в том, что в результате трех измерений

 

Пример: Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием, равным 10. Вероятность того, что слу­чайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (4; 16), равна 0,8664. Найти среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение: По условию задачи случайная величина Х имеет мате­матическое ожидание а=10 и

Но, с другой стороны,

где σ - среднее квадратическое отклонение случайной величи­ны Х.

Итак, 2Ф()=0,8664       или      Ф()=0,4332.

По таблице значений функции Лапласа находим =1,5. Отку­да σ=4.   

 

Задачи на закрепление материала

 

Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью вероятности f (x). Требуется найти:

а) математическое ожидание и дисперсию X;

б) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ;

в) вероятность того, что абсолютная величина отклонения  окажется меньше d.

1.	, a = 11; b = 21; d = 6.	3.	, a = 6; b = 15; d = 8.
2.	, a = 9; b = 19; d = 4.	4.	, a = 2; b = 15; d = 3.

 

 

Практические занятия

1. Практическое занятие №2 «Применение стандартных методов и моделей к решению вероятностных задач. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности»

2. Практическое занятие №3 «Вычисление вероятностей событий, используя теоремы сложения, умножения вероятностей»

3. Практическое занятие №4 «Применение стандартных методов и моделей к решению вероятностных задач. Вычисление вероятностей сложных событий»Практическое занятие №5 «Решение задач на запись ДСВ»

2. Практическое занятие №6 «Вычисление числовых характеристик ДСВ»Практическое занятие №7 «Нахождение интегральной функция распределения НСВ»

2. Практическое занятие №8 «Вычисление характеристик НСВ с помощью функции плотности»

3. Практическое занятие №9 «Вычисление вероятностей для нормального распределения»