Глава I . Вероятностное пространство. Случайные события.

Кафедра высшей математики

 

Лагунова М.В.

 

Конспект лекций

по

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

 

для студентов II курса

 механико-машиностроительного факультета СПбГТУ

(часть I)

 

 

Санкт-Петербург 1997 г.

 

 

Глава I. Вероятностное пространство. Случайные события.

Элементы комбинаторики.

Комбинаторика - раздел элементарной математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. [Энциклопедический словарь юного математика].

Пусть B - конечное множество, состоящее из n различных элементов. Комбинаторика изучает вопрос о том, какого типа соединения можно составить из этих элементов и сколько таких соединений. Рассмотрим три основных типа соединений: перестановки, размещения и сочетания.

 

1. Перестановки из n элементов - всевозможные упорядоченные множества, составленные из данных n элементов.   

Число перестановок из n элементов обозначается .

ПРИМЕР Пусть множество B состоит из трех цифр: . Какие перестановки мы можем составить? Сколько их?

123	213	312
132	231	321

 Две различные перестановки отличаются лишь порядком вхождения элементов множества B. Легко заметить, что .

Помня о приведенном выше примере, выведем формулу для вычисления числа перестановок из n элементов.

Итак, элемент, стоящий на первом месте, можно выбрать из данных n элементов, очевидно, n способами. Если первый элемент уже выбран, то следующий за ним - второй - мы можем выбрать из оставшихся (n -1)- го элементов, естественно, (n -1)- м способом. А так как каждому выбору первого элемента перестановки соответствуют все возможные способы выбора второго элемента, для выбора первой пары элементов получим  способ. Продолжая дальше в том же духе, получим:

 

 

 

                

2. Размещения из n элементов по k - всевозможные упорядоченные k -элементные подмножества данного n -элементного множества.  

Число размещений из n по k обозначается .

 

ПРИМЕР Множество . Составим всевозможные размещения из 4-х элементов данного множества по 2.

 

12	21	31	41
13	23	32	42
14	24	34	43

Как видно из приведенного примера, различные размещения могут отличаться как порядком входящих в них элементов так и самими элементами. Легко подсчитать, что .

Выведем общую формулу для подсчета числа .

Имеется k порядочных мест, или разрядов, на которые мы должны поставить элементы, выбранные произвольно из данных n элементов. Эту процедуру удобно представить в виде таблицы:

 

1	2	3	...	k -2	k -1	k
n	n- 1	n- 2	...	n-(k- 3)	n-(k- 2)	n -(k - 1)

 

 Здесь в первой строке обозначен порядковый номер входящего элемента, а в нижней - число способов, которыми мы этот элемент можем выбрать из оставшихся к данному моменту. При помощи рассуждений, которые мы приводили при выводе числа перестановок, получаем, что

3. Сочетания из n элементов по k - всевозможные k -элементные подмножества данного n -элементного множества.

  Число сочетаний из n по k обозначается .

Сравните определения сочетаний и размещений.

ПРИМЕР Пусть по-прежнему множество , выпишем всевозможные сочетания из этих 4-х элементов по 2:

12

13

14

23

24

34

Два различных сочетания отличаются лишь входящими в них элементами, при этом легко подсчитать, что . Таблица же для подсчета  содержит лишь одну строку.

Выведем общую формулу для подсчета числа сочетаний.

Ясно, что сочетаний из n элементов по k меньше, чем размещений из n элементов по k, ровно во столько раз, сколькими способами можно переставить эти k элементов, то есть . Из этой формулы следует, что

 

П Р И М Е Р Ы

При решении комбинаторных задач очень важно уметь определять типы соединений. Решим несколько задач.

1. Сколькими способами можно рассадить 8 человек на скамейку?

2. Сколькими способами можно рассадить 8 человек за круглый стол?

В первой задаче ответ очевиден. Речь идет о количестве перестановок из 8 элементов, т.е. 8 человек на скамейке можно пересаживать 8! различными способами.

Что касается второй задачи, то она отличается от предыдущей тем, что у круглого стола, как известно, нет краев. Представим себе, что мы выбрали одного конкретного человека и посадили его за стол, а далее начинаем различными способами пересаживать оставшиеся 7 человек. Сколькими способами это можно сделать? Да, конечно же, 7! способами.

3. Сколькими способами можно выбрать из группы в 12 человек 2-х студентов для участия в конференции?

4. Сколькими способами можно выбрать из группы в 12 человек старосту и его помощника?

В первом случае мы выбираем 2-х человек из 12, которые будут выполнять одинаковые обязанности - они просто вместе пойдут на конференцию. Число способов будет . Во втором случае выбираемые нами студенты будут выполнять разные функции, т.е. можно считать, что староста является в этой двойке лицом №1, а его заместитель - №2. Таким образом, речь идет об упорядоченном 2-х элементном подмножестве множества из 12 элементов, а таких подмножеств .

Рассмотрим пару более сложных задач.

5. Сколько словарей нужно создать, чтобы переводить с любого из 5-ти языков: хинди, болгарского, японского, суахили и чувашского непосредственно на любой другой из этих 5-ти языков?

Из условия задачи ясно, что нам понадобятся словари типа хинди - болгарского и болгарско - хинди и т.д. Обозначим хинди -болгарский словарь упорядоченной парой букв ХБ, а болгарско - хинди словарь - БХ. Таким же образом поступим с другими необходимыми нам словарями. Задача свелась к следующей: имеется множество, состоящее из 5 букв: {Х,Б,Я,С,Ч}. Сколько из них можно составить различных упорядоченных пар? Ответ: .

6. Сколькими способами можно прочесть слово A B R A C A D A B R A,

начиная c верхней буквы и кончая нижней. При этом каждая следующая буква должна находиться непосредственно под предыдущей (см. рисунок).

Один из возможных путей отмечен на рисунке. При этом, если каждый поворот направо обозначить буквой П, а каждый поворот налево - буквой Л, то получится, что пройденный путь можно записать при помощи этих букв следующим образом: ЛПЛЛЛПППЛП. Любой другой путь можно записать аналогичным образом. Легко заметить, что в каждой такой записи ровно 5 букв Л и 5 букв П. Причем по любому такому слову можно однозначно указать путь. Остается определить, сколько существует таких “слов”, или, по-другому, сколькими способами можно выбрать 5 мест из 10, на которые мы поставим букву Л, а остальные 5 мест займет, естественно, буква П. Ответ понятен -  способа.

 

Свойства сочетаний.

Сочетания обладают рядом интересных свойств.

1.

2.

Эти свойства можно доказывать двумя способами: либо использовать формулу для подсчета числа сочетаний (предоставляем это читателю), либо при помощи здравого смысла.

Действительно, выбирая k элементов из n, мы просто делим множество на две части: те k элементов, которые мы взяли и n - k элементов, что мы оставили. Очевидно, что число способов взять или оставить одинаково .

Чтобы доказать второе свойство сочетаний, зафиксируем один из элементов данного n -элементного множества. Заметим, что сочетания из k элементов бывают двух сортов: либо они содержат выбранный нами элемент (таких сочетаний ), либо не содержат его (  способов). Остается сложить эти две величины и получить общее число способов выбора из n элементов k.  .

Из приведенных выше свойств следует знаменитый треугольник Паскаля.

3. Если числа сочетаний записать в виде треугольника в следующем виде:

............

После подстановки численных значений получится:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4   6 4 1

1 5 10 10 5 1

...............

По сторонам треугольника стоят единицы, а каждое число внутри треугольника является суммой двух чисел, стоящих непосредственно над ним.

 

4. Пользуясь числами сочетаний, выведем формулу бинома Ньютона .

Вспомним формулу квадрата суммы:

Рассуждая аналогичным образом для n -ой степени, (не переставляя сомножители!) получим сумму всевозможных слагаемых, каждое из которых представляет n -буквенное слово, составленное из букв a и b. При этом слагаемых, в которых k букв a и n - k букв b (вспомните пример с абракадаброй), ровно   штук. А каждое такое слагаемое равно . Таким образом, получим:

.

5. Пользуясь биномом Ньютона, приняв a = b = 1, получим

, т.е. число всех подмножеств

n -элементного множества равно 2ⁿ.

§2. Вероятностное пространство (W, A, P).

1. Пространство элементарных событий.

Def Пространство элементарных событий W  - множество объектов произвольной природы.

Обычно в эксперименте множество W - множество взаимоисключающих исходов.

 

ПРИМЕРЫ:

1.

 

	Монета подбрасывается один раз. Элементарными исходами эксперимента являются 2 события: выпадение герба и выпадение решетки. (При описании элементарных исходов мы сразу оговариваем, что монета не может встать на ребро, зависнуть в воздухе или внезапно исчезнуть.) Таким образом, если обозначить элементарные исходы эксперимента w1 = Г - выпадение герба, w2 = Р - выпадение решетки, то пространство элементарных исходов является множеством, состоящим из двух элементов .
2.		Игральную кость подбрасывают один раз. Наблюдаемое событие - число выпавших очков. Элементарные исходы: w1  - выпало 1 очко, w2 - выпало 2 очка и т.д. w6 - выпало 6 очков. .
3.			Монета подбрасывается до первого появления герба. Элементарными исходами эксперимента являются события: w1= Г - герб появился при первом подбрасывании, w2 =РГ - герб появился при втором подбрасывании ,..., w k =РРР...РГ - герб появился при k -м подбрасывании ,... получим: . В этом случае пространство элементарных исходов - бесконечное счетное множество.

4.

Производится стрельба по плоской круглой мишени. Элементарные исходы - координаты точки попадания. В этом случае пространство элементарных исходов - несчетное множество.

 

2. Алгебра событий A.

 

Def Случайным событием называется любое подмножество пространства элементарных событий W.

Обычно события обозначаются большими печатными латинскими буквами (кроме буквы P).

ПРИМЕР

 

Рассмотрим пример с подбрасыванием игральной кости. Как было показано ранее, пространство элементарных исходов  

Событиями в данном эксперименте могут быть, например,

А - выпало четное число очков,

В - выпало число очков, кратное трем.

, .

Используем этот пример при рассмотрении того, какие возможны

Операции над событиями

Суммой событий А и В называется множество, обозначаемое А+В=А В и состоящее из элементов, входящих в А или В.   В приведенном выше примере А+В = , это означает, что выпало либо четное число очков, либо число очков кратно трем.

  

Произведением событий А и В называется множество, обозначаемое АВ=А В и состоящее из элементов, входящих в А и В.   В приведенном выше примере АВ = , это означает, что выпало четное число кратное трем.

Разностью событий А и В называется множество, обозначаемое А\В и содержащее те элементы множества А, которые не входят в В.   В приведенном выше примере А\В = , что означает - выпало четное число очков не кратное трем.

Def Событие W  называется достоверным.           

Def Событие  называется невозможным.      

Def Событие  называется противоположным событию .

Def События А и В называются несовместными, если АВ =Æ.

Def Если A Ì B, то говорят, что событие A влечет событие В..

ПРИМЕРЫ

1. Событие А – “горит красный свет светофора” и событие В – “горит зеленый свет”, несовместны.

2. Событие А – “на игральной кости выпало два очка” влечет событие В – “выпало четное число очков”.

Свойства событий:

1. AA = A

2. A+A=A

3. A+

4. A =A

5. A

6. AB=BA

7. A+B=B+A

8. A(B+C)=AB+AC

9. (AB)C=A(BC)

10. (A+B)+C=A+(B+C)

11.

12.

Эти свойства докажите самостоятельно.

 

Формулы де Моргана.

13.

14.

Докажем, например, предпоследнее свойство с помощью картинки, к которой часто прибегают в теории множеств.

 

Из картинок видно, что множества  и состоят из одних и тех же элементов. (Можно провести и строгое доказательство, но мы не будем этого делать, т.к. оно абсолютно не наглядно.)

 

NOTE: Понятия произведения и суммы событий переносятся на бесконечную последовательность событий.

 

Def Пусть W - пространство элементарных событий. A - некоторый класс подмножеств множества W. A - алгебра событий, если " A, B Î A

1. W Î A

2. AB Î A

3. A+B Î A

4. A – B Î A

 

NOTE: Из свойств 1 и 4 следует, что A.

 

ПРИМЕРЫ

1. A=

2. A= , где - некоторое событие.

3. Система всех подмножеств множества W  также является алгеброй событий.

 

ПРИМЕР Вспомним эксперимент с подбрасыванием игральной кости.  Пусть алгебра событий A - система всех подмножеств множества W.

A =

Сколько элементов в множестве A?

Таким образом, если множество W  конечно, то и алгебра A конечна.

 

3. Вероятность события P.

Def Числовая функция P (А), заданная на классе событий A, называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы:

A-1 A - алгебра событий.

А-2 " A Î A P(A) ³ 0

A-3 P (W)= 1

A-4 (аксиома конечной аддитивности) Если события А и В несовместны, т.е. AB = Æ, то P (A + B)= P (A)+ P (B).

Def Тройка (W, A, P), где W - пространство элементарных событий, A - алгебра событий, а P - определенная на этой алгебре вероятность, называется вероятностным пространством.

Свойства вероятности:

1.

2.

3. - формула вероятности суммы

4.

5.

Доказательство:

1. Т.к. , , то по аксиоме А-4 имеем:

,

2.

3. Если А и В несовместны, то формула вероятности суммы событий следует из аксиомы конечной аддитивности. Пусть А и В совместны.

, причем события  и  несовместны. , причем события и  также являются несовместными. Пользуясь два раза аксиомой конечной аддитивности, получим:

4. Докажем, что A . По аксиоме А-2 мы знаем, что ,а так как A, значит и . По свойству 1. .

5.

Покажем, что A:  Имеем: , причем события  и  несовместны. Тогда по аксиоме конечной аддитивности . Q.E.D.

NOTE: Для суммы трех произвольных событий можно доказать следующую формулу:

. Докажите эту формулу самостоятельно, а также обобщите теорему о вероятности суммы событий на случай произвольного конечного числа событий.

 

Геометрические вероятности.

 

Классическое определение вероятности нельзя применить, если пространство элементарных событий W, бесконечно.

Пусть W  - замыкание непустой ограниченной области с кусочно-гладкой границей на плоскости или в пространстве. Тогда, как мы знаем, существует ненулевая мера Жордана области W (площадь, если W плоская область и объем, если W - область в пространстве). Меру Жордана в обоих случаях будем обозначать, как и прежде, mW.

Пусть A- система подмножеств W, имеющих кусочно-гладкую границу. Проверьте самостоятельно, что A- алгебра.

A положим

(1)

Проверьте самостоятельно, что определенная этой формулой вероятность удовлетворяет требуемым аксиомам.

 

NOTE: Множества, имеющие нулевую меру Жордана, будем так же как и Æ  называть невозможными событиями. К ним относятся точки и кусочно-гладкие кривые. Вообще говоря, невозможное событие можно определить как событие, вероятность которого равна нулю.

ПРИМЕРЫ

1.

Известно, что площадь Южной Америки составляет 17,8 млн. кв. км. Площадь Бразилии - 8,5 млн. кв. км. Случайным образом выбирается точка на карте Южной Америки. Какова вероятность того, что она попала на карту Бразилии (событие А)?

2. Задача о встрече

Два студента, назовем их Иван и Петр, договорились о встрече в интервале от 0 до 1 часа дня. Каждый из них приходит в любой момент названного интервала времени, ждет не более 15 минут и уходит, если не дождется другого. Найти вероятность того, что встреча состоится.

Пусть событие А - встреча состоялась. Найдем P (А).

Введем две величины:

х - время прихода Ивана;

у - время прихода Петра.

Тогда пространство элементарных событий .

Посмотрим, при каких значениях х и у встреча состоится. Возможны два варианта:

а) Иван пришел первым, т.е. , тогда встреча состоится, если ;

б) Петр пришел первым, т.е. , в этом случае встреча состоится, если .

В любом случае

.

Изобразим на чертеже плоскую область W, множество А, а также найдем отношение их площадей.

Из рисунка видно, что m W=1, а .

 

Условные вероятности.

 

ПРИМЕР

Студент из 30 билетов выучил 1 - 3 и 28 -30. На экзамен он вошел 11-м. К этому моменту остались билеты 1 - 20. Найти вероятность того, что студент вытащит тот билет, который выучил.

Пусть событие В - студент получил билет, который выучил,

А - остались билеты 1 - 20. Пространство элементарных событий , где элементарный исход  означает, что студент вытащил i -й билет. Тогда , . Если мы не знаем, что произошло событие А, то

,при дополнительной информации - произошло событие А - пространство элементарных исходов сужается до множества А.

ВА - событие, состоящее в том, что события А и В наступают одновременно, т.е. студент вытащил билет, который знает, из 20-ти оставшихся.

, .

Обозначим  - вероятность события В при условии, что событие А произошло. В нашем примере ясно, что , а т.к.  и , можно проверить, что .

 

Def Пусть (W, A, P) - произвольное вероятностное пространство. События A, B Î A, причем P (A) >0. Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло, называется величина, обозначаемая

P (B / A)= P (AB): P (A).

 

NOTE: Пусть зафиксировано событие А Î A, причем P (A) >0. Обозначим . Можно проверить, что условная вероятность  удовлетворяет всем аксиомам вероятности, а следовательно для нее справедливы и все свойства вероятности.

 

Def События А и В называются независимыми, если

P (АВ)= P (А) P (В).

NOTE: Условие независимости двух событий можно записать, используя определение условной вероятности, в следующей форме: А, В независимы .

Это просто означает, что вероятность появления события А (или В) не зависит от того, осуществилось событие В (или А) или нет.

 

§6. Вероятность произведения n событий. Попарная независимость и независимость в совокупности.

 

Для произведения двух событий формула вероятности произведения имеет вид:

 

(1)

 

 

Для произведения n событий докажем следующую теорему:

 

 

 Т_

Здесь - вероятность того, что произошло событие  при условии, что уже осуществились все события .

 

Доказательство: Воспользуемся методом математической индукции.

 

1) База для индукции. Пусть n =2. Тогда  - известная формула.

2) Индукционное предположение. Пусть формула верна при n = k.

3). Индукционный переход. Докажем, что тогда формула верна и для n = k + 1.  

.

Таким образом, мы показали наличие базы для индукции и доказали законность индукционного перехода.

Q. E. D.

ПРИМЕР:

В урне находятся 15 белых и 10 черных шаров. Наудачу извлекаются 7 шаров. Какова вероятность того, что все они черные?

Пусть событие А - все шары черные.

Конечно, эту задачу можно решить по-старому, используя классическое определение вероятности:

.

Используем формулу вероятности произведения событий. Представим себе, что мы вытаскиваем шары по одному. Событие - i -й вынутый шар черный. Очевидно, . Воспользуемся формулой вероятности произведения:

 

Проверьте, что результаты совпадут.

 

Def События А₁, А₂,..., А _n называются попарно независимыми, если

P (A_iA_j)= P (A_i) P (A_j) при " i ¹ j.

Def События А₁, А₂,..., А _n называются независимыми в совокупности, если

для любых комбинаций индексов 1 £ i ₁ < i ₂ <...< i_k £ n.

NOTE: Очевидно, что из независимости в совокупности следует попарная независимость. Обратное утверждение, как показывает приведенный ниже пример, не является верным.

 

ПРИМЕР Бертрана: Приведем пример попарно независимых, но не являющихся независимыми в совокупности событий.

Пусть имеется правильный тетраэдр, раскрашенный следующим образом: три его грани однотонные и окрашены соответственно в красный, синий и зеленый цвета, а последняя грань раскрашена тремя этими цветами (см. рис.)

Один раз подбрасываем этот тетраэдр. Считается, что он с равной вероятностью может упасть любой гранью вниз. Введем в рассмотрение три события: R - на нижней грани есть красный цвет, G - на нижней грани есть зеленый цвет, B - на нижней грани есть синий цвет. Очевидно, что .

Событие RB, например, означает, что на нижней грани есть одновременно красный и синий цвет, т.е. тетраэдр упал трехцветной гранью вниз. Точно также мы можем рассматривать события RG, BG и RGB. Причем все они означают одно и то же, а именно, что тетраэдр упал трехцветной гранью вниз. Найдем вероятности всех перечисленных выше событий.

.

Нетрудно проверить, что . Аналогично проверяется, что  и .

Таким образом, мы показали, что события R, G и B попарно независимы. Если бы они были независимыми в совокупности, то должно было бы выполняться и еще одно равенство:

, а оно не выполняется, т.к. .

_Т_ Если события  независимы в совокупности, то

 

Эта теорема не нуждается в доказательстве, потому что это прямое следствие определения независимых в совокупности событий.

 

Формула полной вероятности.

 

ПРИМЕР:

Рассмотрим пример на интуицию.

 

 

№ 1  № 2

Пусть имеются две коробки, а также 10 купюр по DM 10 и столько же купюр по DM 20. Некто подходит к любой из коробок и вытягивает одну купюру. Как следует разложить купюры, чтобы с наибольшей вероятностью попалась бы купюра в DM 20?

 

 

Возможные варианты ответа (собранные за многолетнюю практику работы со студентами) запишем в виде таблицы:

 

коробка № 1

коробка № 2

 

5	5	5	5
0	10	10	0
10	10	0	0
0	1	10	9

 

 

Как нам подсказывает интуиция, последний способ, по-видимому, является самым подходящим. Вернемся к теории (вероятностей).

 

_Т_ Пусть событие A, события  такие, что

1) A ,

2) ,

3)  при любых ,

4) ;

              Тогда полная вероятность события  вычисляется по                        формуле:

.

Def Система множеств { H_i }, удовлетворяющая условиям 1) - 4), называется полной группой событий, каждое из событий H_i называется гипотезой.

 

NOTE: Вместо условия 4) достаточно потребовать, чтобы .

 

Доказательство: Разобьем пространство элементарных исходов W  на множества  так, как указано в условии теоремы.