Расчет собственной концентрации электронов и дырок

        Е        Е+dЕ

        

    Зона проводимости

                                Е

                           

0 Е

 

- m    

 

Е

 

                        -m¢

Е

Валентная зона.

Рис.1.Положение уровня Ферми в невырожденном полупроводнике.

 

На рис. 1 показана зонная структура невырожденного полупроводника. За нулевой уровень отсчета энергии принимают обычно дно зоны проводимости Е . Так как для невырожденного газа уровень Ферми m должен располагаться ниже этого уровня, т.е. в запрещенной зоне, то m является величиной отрицательной (-m >>kT). При температуре Т, отличной от абсолютного нуля, в зоне проводимости находятся электроны, в валентной зоне – дырки. Обозначим их концентрацию соответственно через n и p. Выделим около дна зоны проводимости узкий интервал энергий dЕ, заключенный между Е и Е+dЕ. Так как электронный газ в полупроводнике является невырожденным, то число электронов dn, заполняющих интервал энергии dЕ (в расчете на единицу объема полупроводника), можно определить, воспользовавшись формулой:

 

N(E)dE= (2m) e E dE

dn= (2m ) e e E dE

 

где m – эффективная масса электронов, располагающихся у дна зоны проводимости.

Обозначим расстояние от дна зоны проводимости до уровня Ферми через -m, а от уровня Ферми до потолка валентной зоны через -m¢. Из рис. 1 видно, что

 

m+m¢=-E ,

m¢=-(Е +m)

где Е ( Е) - ширина запрещенной зоны.

E =Е +bТ

 

Полное число электронов n, находящихся при температуре Т в зоне проводимости, получим, интегрируя (1.2) по всем энергиям зоны проводимости, т.е. в пределах от 0 до Е :

n=4

 

Так как с ростом Е функция exp(-E/kT) спадает очень быстро, то верхний предел можно заменить на бесконечность:

n=4

 

Вычисление этого интеграла приводит к следующему результату:

 

n=2 exp                             (1.5)

Введем обозначение

 

N =2(2 m kT/h )                     (1.6)

 

Тогда (1.5) примет следующий вид:

 

n=N exp( /kT)                            (1.7)

 

Множитель N в (1.7) называют эффективным числом состояний в зоне проводимости, приведенным ко дну зоны. Смысл этого числа состоит в следующем. Если с дном зоны проводимости, для которой Е=0, совместить N состояний, то, умножив это число на вероятность заполнения дна зоны, равную f (0)=exp( /kT), получим концентрацию электронов в этой зоне.

Подобный расчет, проведенный для дырок, возникающих в валентной зоне, приводит к выражению:

 

p=2 exp =N exp = N exp           (1.8)

 

где

N =2                              (1.9)

 

– эффективное число состояний в валентной зоне, приведенное к потолку зоны.

Из формул (1.7) и (1.8) следует, что концентрация свободных носителей заряда в данной зоне определяется расстоянием этой зоны от уровня Ферми: чем больше это расстояние, тем ниже концентрация носителей, так как m и m¢ отрицательны.

В собственных полупроводниках концентрация электронов в зоне проводимости n равна концентрации дырок в валентной зоне p , так как

каждый электрон, переходящий в зону проводимости, «оставляет» в валентной зоне после своего ухода дырку. Приравнивая правые части соотношения (1.5) и (1.8), находим

 

2 exp =2 exp

Решая это уравнение относительно m, получаем

 

m = - + kT ln                               (1.10)

 

Подставив m из (1.10) в (1.5) и (1.7), получим

 

n =p =2 exp =(N N ) exp (1.11)

Из формулы (6.12) видно, что равновесная концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике определяется шириной запрещенной зоны и температурой. Причем зависимость n и p от этих параметров является очень резкой.

Рассчитаем собственную концентрацию электронов и дырок при Т=300К.

 

E_g=(0,782-3,9 10 300)1,6 10^-19 =1,064 10^-19 Дж

N =2(2 m kT/h ) =2 =2 = =2 =4,7 10 (см )

N =2 =2 =2 =10,2 10 (см )

n =p =(N N ) exp = =

6,92 10 2 10 =13,8 10 (см )