Метрологическое обеспечение экспериментальных данных

 

Результаты измерений можно представить в следующем виде

 

,                                                                        (5.1)

 

где ∆x – погрешность измерений.

Точно определить величину погрешности невозможно, так как она носит случайный характер. Иначе можно было бы найденную погрешность ввести в результат измерения и получить истинное значение x_ист. Задачей математической статистики является наилучшая оценка результата x_ист и нахождение пределов интервала (5.1) по результатам измерений.

Если проведено n измерений величины x, то среднее арифметическое значение принимается за лучшую оценку истинного результата измерений

 

                                                                                      (5.2)

 

где x_i – результат i-го измерения.

Средняя квадратичная погрешность определяется по формуле

 

                                                                          (5.3)

 

где n – число измерений.

Важно знать, насколько может отличаться от истинного значения x среднее арифметическое, полученное по формуле (5.2) для n повторных равноточных измерений. Из теории видно, что средняя квадратичная погрешность среднего арифметического S равна средней квадратичной погрешности каждого результата измерений S_n, деленного на корень из числа измерений n

 

                                                                                        (5.4)

 

Вероятность того, что результат измерений отличается от истинного на величину, не большую, чем ∆x обозначим через α. Вероятность α называется доверительной вероятностью, а интервал значений измеряемой величины от -∆x до +∆x называется доверительным интервалом.

Определим доверительный интервал. Чем большим он будет установлен, тем более вероятно, что x_ист окажется в этом интервале. Но широкий интервал дает меньшее представление относительно величины x_ист. При учете только случайных погрешностей и при небольшом числе измерений n для уровня доверительной вероятности α полуширина доверительного интервала равна

 

,                                                                                     (5.5)

 

где tα,n – коэффициент Стьюдента (таблица 5.1).

Таблица 5.1 – Коэффициент Стьюдента

n	α
	0,6	0,8	0,95	0,99
2	1,376	3,078	12,706	63,657
3	1,061	1,886	4,303	9,925
4	0,978	1,638	3,182	5,841
5	0,941	1,533	2,776	4,604
6	0,92	1,476	2,571	4,032
7	0,906	1,44	2,447	3,707
8	0,896	1,415	2,365	3,499
9	0,889	1,397	2,306	3,355
10	0,883	1,383	2,262	3,25
11	0,879	1,372	2,228	3,169
12	0,876	1,363	2,201	3,106
13	0,873	1,356	2,179	3,055
14	0,87	1,35	2,16	3,012
15	0,868	1,345	2,145	2,977
16	0,866	1,341	2,131	2,947
17	0,865	1,337	2,12	2,921
18	0,863	1,333	2,11	2,898
19	0,862	1,33	2,101	2,878
20	0,861	1,328	2,093	2,861
21	0,86	1,325	2,086	2,845
22	0,859	1,323	2,08	2,831

Для окончательной установки границы доверительного интервала необходимо расширить его с учетом систематической погрешности ∆x_сист. Систематическая погрешность, как правило, указана в паспорте или на шкале прибора, а в некоторых случаях может быть принята равной половине цены деления младшего разряда шкалы. Суммарная погрешность (абсолютная) определяется как корень квадратный из суммы квадратов случайной и систематической погрешностей

 

                                                                           (5.6)

 

Относительная погрешность определяется как

 

                                                                                         (5.7)

 

Выражение (5.6) позволяет оценить величину погрешности по отношению к самой измеряемой величине, измеряется в процентах.

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций.

1 Вычисляется среднее значение из n измерений по формуле 5.2.

2 По формуле 5.3 определяется среднеквадратичная погрешность среднего арифметического значения.

3 Задается доверительная вероятность α и определяется коэффициент Стьюдента t_α,n для заданного α и числа произведенных измерений n по

таблице 5.1.

4 По формуле 5.5 находится полуширина доверительного интервала (абсолютная погрешность результата измерений).

5 Оценивается относительная погрешность результата измерений по формуле 5.7.

6 Окончательный результат записывается в виде

 

.                                                                                      (5.8)