Исследование колебаний маятника с пружиной I

Т, с			M, кг
Эксперимент

 

 

Таблица 5.

Исследование колебаний маятника с пружиной II

Т, с			M, кг
Эксперимент
0,99	0,98	0,85	0,050355
1,37	1,29	1,21	0,100315
1,61	1,55	1,48	0,149735
1,85	1,769	1,7	0,198965
Нужно сделать расчётные кривые тоньше!

 

 

Таблица 6.

Исследование колебаний маятника с пружиной III

Т, с			M, кг
Эксперимент
0,79	0,79	0,73	0,1
1,062	1,07	1,03	0,2
1,289	1,29	1,26	0,3
1,49	1,48	1,45	0,4
1,661	1,65	1,62	0,5
1,9	1,8	1,78	0,6

 

Выводы:

1. С учётом погрешности измерений, формула периода (2) точнее описывает период колебаний вертикального пружинного маятника в зависимости от массы груза, при этом, однако, наблюдаемое увеличение отклонения от расчётной зависимости с ростом массы груза не укладывается в предложенную модель. Это может быть вызвано возникновением наряду с вертикально-поступательными колебаниями пружинного маятника – моды крутильных колебаний.

2. Экспериментально установлены условия возбуждения крутильных колебаний для исследуемых пружин:

● пружина I M _кр =  50 ÷ 60 г….. (При M = 100 г амплитуда колебаний 2π рад);

● пружина II M _кр = 100 г;

● пружина III M _кр = 250 г.

Таким образом, в рамках проводимой работы было скорректирована цель исследования.

Цель работы (скорректирована)

Определить условия возбуждения и характеристики крутильных колебаний пружинного маятника.

 

Экспериментальное исследование условий возбуждения и характеристик
 крутильных колебаний пружинного маятника.

Крутильные колебания

Рис. 7 Крутильный маятник

Уравнение крутильных колебаний аналогично уравнению возвратно-поступательных колебаний, однако координатой является угловое смещение β, аналогом силы – момент силы относительно оси вращения Μ, аналогом массы момент инерции I, а χ – крутильная жёсткость. Тогда согласно [6] Μ , а для малых углов поворота закон Гука будет иметь вид Μ = – χβ. В итоге имеем уравнение крутильных колебаний:  +  β = 0, период которых определяется формулой

(3)…………………………………

Возникновение крутильных колебаний пружинного маятника, что модели колебаний, приводящие к формулам периода 1-2, полагают груз материальной точкой, однако в случае исследуемых колебательных систем, грузы не могут рассматриваться как материальные точки. Для проверки этого предположения нами были поставлены опыты с грузами одинаковой массы, но разного диаметра, поскольку момент инерции грузов в виде дисков определяется формулой.

(4)……………………………..

Результаты измерений приведены в таблице 7.

Таблица 7.

Пружина ….

M, кг	d, м	T, с

 

Кроме этого в ходе опытов было отмечено, что при массе груза близкой к критической для возникновения крутильных колебаний в опытах с грузами большего диаметра срыв во вращательное колебание происходил чаще, более того, пружина проворачивалась на больший угол и эти колебания медленнее затухали, чем с грузами меньшего диаметра. Не оправдалось предположение, что крутильные колебания происходят с той же частотой, что и вертикальные. Нами был проведён литературный поиск более полной теории колебаний пружинного маятника.

 

Крутильные и возвратно-поступательные колебания вертикального
пружинного маятника, по А. Зоммерфельду

 

В [7] А. Зоммерфельд указывает, что колебания спиральной пружины модно рассматривать, как колебания двух “симпатических” маятника, совмещённых в одном. Более подробная теория изложена Зоммерфельдом в работе [8], в которой он определял коэффициент Пуассона в условиях резонанса двух колебательных мод цилиндрической пружины.

Рис. 8. К модели колебания пружины, по Зоммерфельду

По Зоммерфельду, если на пружину действует осевая сила Q (см. рис. 8) то, пружина будет не только растягиваться в осевом направлении, но и в то же время слегка сжиматься в периферийном направлении. Если пружина напряжена тангенциальной силой P (см. рис.8), то она не будет следовать исключительно в периферийном направлении, но она будет в то же время сокращаться или удлиняться незначительно в осевом направлении, в зависимости от направления P и порядка навивки витков пружины (по часовой или против часовой стрелки). То насколько возбуждается дополнительный тип колебания к основному зависит от шага витков спирали, то есть от угла α, которым центральная винтовая линия наклонена к горизонтали. Момент силы Q не перпендикулярен к отдельным поперечным сечениям пружины с учётом угла наклона витков, а образует угол α с его нормалью. Следовательно, дополнительно к явлению кручения, Qr cosα, также возникает изгибающий момент величины Qr sinα. Аналогично, плоскость пары сил Pr не является точно перпендикулярной к отдельному сечению пружины и, следовательно, обеспечивает помимо изгибающих моментов Pr cosα также крутильный момент величины - Pr sinα. Зоммерфельдом получены как выражения для сил P и Q, так и уравнения связанных колебаний.

 

Список литературы

1. Егоров В.В., П. Н. Григорьев Колебания шпренгельных систем с составной балкой жёсткости // Известия ПГУПС №4, 2008, с. 17 – 24.

2. Келдыш М.В., Гроссман Е.П., Марин Н.И. Вибрации на самолёте. / М.: Бюро новой техники НКАП при ЦАГИ, - 1942, - 56 с.

3. Рогонский В.А., Воронин В.М., Строительные катастрофы./ Спб:Стройиздат.-2001, 160 с.

4 Дроздов В.Б. Не так уж легка пружина.// Физика ПС.-2011.-№5(941).-с.37-38

5. Бражников М.А., Определение жесткости пружины. // Физика ПС.- 2003.-№16.-с.2-3

6. Хайкин С.Э., Физические основы механики: общий курс физики. /М.:Наука.-1971.-с.587-589

7. Зоммерфельд А. Механика / М.: Иностранная литература, -1947, - 392 с.

8. Sommerfeld A. Lissajous-Figuren und Resonanzwirkungen bei schwingenden Schraubenfedern; ihre Verwertung zur Hestimmung des Poissonschen Verhältnisses (Фигуры Лиссажу и резонансные эффекты с осциллирующими цилиндрическими пружинами; их использование для определения коэффициента Пуассона) in der "Festschrift Adolph Wülner gewidmet zum siebzigsten geburstage" / Leipzig.: Druck und Verlag von B. G. Teubner, - 1905, - s. 162-192

[1] Лонжерон – продольный элемент каркаса крыла