Реальное дифференцирующее звено

(Слайд 39)

Звено описывается уравнением

.                        (4.48)

Передаточная функция звена

.                          (4.49)

Звено условно можно представить в виде двух включенных последовательно звеньев – идеального дифференцирующего звена и апериодического звена первого порядка.

(Слайд 40)

На рис. 4.21 изображены примеры реальных дифференцирующих звеньев: дифференцирующая RC -цепь (рис. 4.21, а), R L -цепь (рис. 4.21, б) и дифференцирующий трансформатор (рис. 4.21, в).

Рис. 4.21. Реальные дифференцирующие звенья

(Слайд 41)

Переходная функция определяется решением (4.48) при х ₁ = 1(t) и нулевых начальных условиях

.                                       (4.50)

Функция веса

.                      (4.51)

(Слайд 42)

Временные характеристики изображены на рис. 4.22. Там же показаны построения, позволяющие по экспериментальным характеристикам определять параметры звена.

Рис. 4.22. Переходная функция (а) и дельта-функция (б)
реального дифференцирующего звена

(Слайд 43)

Частотная передаточная функция, её модуль и фаза соответственно равны:

;                                (4.52)

         (4.53)

(Слайд 44)

Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики звена изображены на рис. 4.23.

Рис. 4.23. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) реального дифференцирующего звена

Амплитудная характеристика реального звена отличается от амплитудной характеристики идеального дифференцирующего звена (показана пунктиром). Характеристики совпадают в области низких частот. В области высоких частот реальное звено пропускает сигнал хуже, чем идеальное звено. Коэффициент передачи стремится к значению k / T при . Для звеньев, представляющих собой R C - или RL -цепь (см. рис. 4.21), коэффициент k / T = 1, и на высоких частотах коэффициент передачи стремится к единице.

Это означает, что в дифференцирующей RC -цепи конденсатор имеет сопротивление, стремящееся к нулю, а в дифференцирующей RL -цепи индуктивность имеет сопротивление, стремящееся к бесконечности. И в том, и в другом случаях напряжение на выходе будет равно напряжению на входе.

Фазовые сдвиги, вносимые звеном, являются наибольшими при низких частотах. На высоких частотах фазовый сдвиг постепенно уменьшается, стремясь в пределе к нулю при . Здесь также видно, что реальное звено ведет себя подобно идеальному только в области низких частот.

Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот представляет собой полуокружность с диаметром, равным k / T. На полуокружности нанесены характерные точки:  и . Дополнив эту полуокружность её зеркальным изображением относительно вещественной оси, получим полную амплитудно-фазовую характеристику для всех частот, лежащих в пределах .

ЛАХ строится по выражению

.                           (4.54)

(Слайд 45)

Для построения асимптотической ЛАХ (рис. 4.24) проведем вертикальную линию при сопрягающей частоте .

Левее этой линии, то есть при , можно воспользоваться приближенным выражением . Этому выражению соответствует прямая линия с положительным наклоном 20 дБ/дек (прямая а– b). Она может быть построена, например, по частоте среза .

Для частот  можно пользоваться приближенным выражением . Этому выражению соответствует прямая, параллельная оси частот (b – с). Действительная ЛАХ отличается от асимптотической в точке излома b на величину 3 дБ.

Рис. 4.24. ЛАХ и ЛФХ реального дифференцирующего звена

На рис. 4.24 показана асимптотическая ЛАХ для случая k = 1 (ломаная прямая d –e–f).

ЛФХ строится по второму уравнению системы (4.53). Для этого сначала строится первое слагаемое y₁ = + 90°, а затем второе y₂ = –аrctg w Т. Результирующая ЛФХ показана сплошной линией. При  фазовый сдвиг равен + 45°.

Неустойчивые звенья

Рассмотренные выше звенья позиционного типа относятся к устойчивым звеньям или звеньям с самовыравниванием. Под самовыравниванием понимается способность звена самопроизвольно приходить к новому установившемуся режиму при ограниченном изменении входной величины или возмущающего воздействия. Термин «самовыравнивание» обычно применяется для звеньев, представляющих собой объекты регулирования.

Существуют звенья, у которых ограниченное изменение входной величины или возмущающего воздействия не вызывает прихода звена к новому установившемуся состоянию, а выходная величина имеет тенденцию неограниченного возрастания во времени. К таким звеньям относятся, например звенья интегрирующего типа. Они были рассмотрены выше.

Существуют звенья, у которых этот процесс выражен еще заметнее. Это объясняется наличием положительных вещественных корней или комплексных корней с положительной вещественной частью в характеристическом уравнении (в знаменателе передаточной функции, приравненном нулю), в результате чего звено относится к категории неустойчивых звеньев.

(Слайд 46)

Рассмотрим в качестве примера звено, описываемое дифференциальным уравнением вида

                              (4.55)

или

.                              (4.56)

Этому дифференциальному уравнению соответствует передаточная функция

.                              (4.57)

(Слайд 47)

Переходная функция звена представляет собой показательную функцию с положительным показателем

.     (4.58)

Эта характеристика изображена на рис. 4.25.

Таким звеном может быть, например, асинхронный двухфазный управляемый двигатель, если он имеет механическую характеристику с отрицательным наклоном.

Существенной особенностью неустойчивых звеньев является наличие больших по сравнению с устойчивыми звеньями фазовых сдвигов.

(Слайд 48)

Так, для рассмотренного выше апериодического звена с отрицательным самовыравниванием имеем частотную передаточную функцию

.                            (4.59)

Модуль её не отличается от модуля частотной передаточной функции апериодического звена с положительным самовыравниванием (4.8)

,                        (4.60)

а фаза

                     (4.61)

имеет большое значение по сравнению со вторым уравнением в (4.8).

В связи с этим неустойчивые звенья относят к группе так называемых неминимально-фазовых звеньев. К неминимально-фазовым звеньям относятся также устойчивые звенья, имеющие в числителе передаточной функции (в правой части дифференциального уравнения) вещественные положительные корни или комплексные корни с положительной вещественной частью.

(Слайд 49)

Например, звено с передаточной функцией

                                         (4.62)

относится к группе неминимально-фазовых звеньев.

(Слайд 50)

К неустойчивым звеньям относится также ряд других звеньев, имеющих передаточные функции вида

;                              (4.63)

;                             (4.64)

;                                (4.65)

.                                 (4.66)

Наличие в автоматической системе неустойчивых звеньев вызывает некоторые особенности расчета.