Построение развёрток цилиндрической и конической поверхностей

 

Известно, что поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, называют развёртывающимися. Фигуру, полученную в результате совмещения поверхности с плоскостью, называют развёрткой. Развёртки таких поверхностей строят приближённо, так как в процессе построения их заменяют (аппроксимируют) вписанными в них многогранными поверхностями. Обычно на практике в цилиндрическую и коническую поверхности вписывают призму и пирамиду, основаниями которых являются правильные многоугольники. Для обеспечения достаточной точности аппроксимации длину стороны многоугольника принимают равной четверти диаметра окружности, то есть основанием многогранника будет правильный 12-угольник.

Пример 7. Построить развёртку боковой поверхности кругового цилиндра (рисунок 4.1).

Круговой цилиндр диаметром d развернут в прямоугольник с основанием длиной 2pr и высотой, равной высоте цилиндра (рисунок 4.2). Чтобы избежать вычислений, связанных с определением длины окружности, в основание цилиндра вписывают правильный 12-угольник. Это построение выполнено на плоскости П₄^i, на которую цилиндр проецируется в окружность (см. рисунок 4.1). Периметр 12-угольника принимают за длину основания прямоугольника. Развёртку боковой поверхности кругового цилиндра заменяют, с достаточной для практики точностью, развёрткой боковой поверхности прямой правильной 12-угольной призмы, вписанной в данный цилиндр.

Для построения развёртки (см. рисунок 4.2) проводят горизонтальную прямую и на ней последовательно откладывают от её произвольной точки 1₀ стороны правильного 12-угольника, вписанного в основание цилиндра. Через точки 1₀, 2₀, 3₀, …, 12₀ проводят перпендикуляры к прямой и на них откладывают длины соответствующих образующих, взятых с фронтальной проекции цилиндра (см. рисунок 4.1), так как длины образующих цилиндра проецируются на П₂ без искажения. Соединив концы образующих плавной кривой, получют развёртку боковой поверхности цилиндра, ограниченной кривой m₀.

Пример 8. Построить развёртку боковой поверхности кругового конуса, пересекающегося с цилиндром (см. рисунок 4.1).

 

 

Развёртка прямого кругового конуса (рисунок 4.3) представляет собой сектор круга радиуса l с длиной дуги 2pR, где l – длина образующей конуса, а R – радиус окружности его основания. Прямолинейные образующие конуса переходят при развёртывании в радиусы этого сектора, а его параллели – в дуги окружностей с центром S₀. Чтобы не вычислять длину дуги сектора круга, в основание конуса вписывают правильный 12-угольник (на чертеже (см. рисунок 4.1) показаны только его вершины I, II, III, …, XII). Для построения развёртки (см. рисунок 4.3) из произвольной точки S₀ описывают дугу радиуса l. Затем слева и справа от точки VII₀, лежащей в меридианальной плоскости симметрии α, засекают по шесть дуг, хорды которых равны стороне 12-угольника. Таким образом развёртку боковой поверхности кругового конуса заменяют развёрткой правильной 12-угольной пирамиды, вписанной в данный конус.

Чтобы нанести на развёртке линию пересечения m, необходимо на каждой образующей отложить натуральную величину длины отрезка соответствующей образующей конуса до точки пересечения с линией m. Для построения, например, точки E этой линии, образующую SE поворачивают вокруг оси конуса (см. рисунок 4.1) до положения очерковой образующей, когда она отображается на П₂ в натуральную величину, то есть. Соединив плавной кривой построенные точки, получают развёртку кривой m₀.

Развёртки наклонных цилиндра и конуса строят, заменяя эти поверхности вписанными в них наклонными 12-угольными призмой и пирамидой, соответственно, за рёбра которых принимают образующие цилиндра и конуса.

 

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

 

Домашняя работа «Кривые поверхности» состоит из двух задач:

Задача №1 Построение проекций линии пересечения:

а) поверхности вращения с плоскостью частного положения (варианты задания 1432);

б) двух поверхностей (варианты задания 33488).

Задача №2 Построение развёртки поверхности вращения *.

ТРЕБОВАНИЯ И РЕКОМЕНДАЦИИ К ОФОРМЛЕНИЮ РАБОТЫ

 

Домашнюю работу выполняют на листах ватмана формата А3 (297´420 мм) простым карандашом. Толщина линий проекционной связи должна быть»1/3 от толщины сплошной основной линии. На чертеже точки отмечают пустым кружком диаметром 3 мм, сопровождая буквенными или цифровыми обозначениями. Буквы и цифры наносят так, чтобы они не пересекали какие-либо линии и надписи. После проверки работы преподавателем чертеж оформляют в соответствии с требованиями ЕСКД (Единая система конструкторской документации).

Ортогональный чертёж поверхности вращения, пересекающейся с плоскостью частного положения, и развёртку этой поверхности выполняют на листе ватмана, расположенном горизонтально (рисунок 6.1).

 

Элемент привязки развёртки для вариантов 1 4 32 (точку Ŝ для конической поверхности и точку Ĉ для цилиндрической поверхности) размещают на листе с учётом величин отрезков a и b и номера варианта задания (рисунок 6.2 и таблицу 6.1). Размеры рамки и учебной основной надписи на чертеже должны соответствовать образцу, показанному на рисунке 6.2.

 

Таблица 6.1

№ варианта	Вид поверхности	Элемент привязки развёртки	a, мм	b, мм
1	2	3	4	5
1	Конус	Вершина конуса Ŝ	50	35
2	Конус	Вершина конуса Ŝ	140	170
3	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	240	105
4	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	235	105
5	Конус	Вершина конуса Ŝ	75	75

Продолжение таблица 6.1

1	2	3	4	5
6	Конус	Вершина конуса Ŝ	85	75
7	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	240	135
8	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	30	95
9	Конус	Вершина конуса Ŝ	85	85
10	Конус	Вершина конуса Ŝ	105	55
11	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	100	13
12	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	175	25
13	Конус	Вершина конуса Ŝ	180	65
14	Конус	Вершина конуса Ŝ	30	20
15	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	25	190
16	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	95	25
17	Конус	Вершина конуса Ŝ	60	20
18	Конус	Вершина конуса Ŝ	170	75
19	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	10	160
20	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	185	25
21	Конус	Вершина конуса Ŝ	90	85
22	Конус	Вершина конуса Ŝ	65	40
23	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	230	75
24	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	60	45
25	Конус	Вершина конуса Ŝ	80	70
26	Конус	Вершина конуса Ŝ	90	80
27	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	50	205
28	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	180	15
29	Конус	Вершина конуса Ŝ	160	160
30	Конус	Вершина конуса Ŝ	185	85
31	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	230	80
32	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	240	90

 

Ортогональный чертёж пересекающихся поверхностей (варианты 33 4 88) выполняют на листе ватмана, расположенном вертикально (рисунок 6.3), а развёртку указанной преподавателем поверхности – на листе ватмана, расположенном горизонтально (рисунок 6.4).

 

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

 

В вариантах заданий 1 4 32 поверхности заданы линиями их очертаний (таблица 7.1), в вариантах с 33 -го по 64 -й – аксонометрическими проекциями, а в вариантах 65 4 88 поверхности заданы геометрическими частями определителя. Определители поверхностей записаны в задании в квадратных скобках и являются набором постоянных геометрических элементов, которые позволят создать поверхность на ортогональном чертеже.

 

Таблица 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1 Начертательная геометрия. Учебн. для вузов./Н.Н. Крылов, Г.С. Иконникова, В.Л. Николаев, В.Е. Васильев. Под ред. Н.Н. Крылова. – 11-е изд., перераб. и доп., – М.: Высш. шк., 2010. – 224 с.: ил.

2 Инженерная графика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования/Ф.И. Пуйческу, С.Н. Муравьёв, Н.А. Чванова. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 336 с.

3 Русскевич Н.Л. Начертательная геометрия. Учебн. пос. – 3-е изд., перераб. и доп., Киев: «Вища школа», 1978. – 312 с.: ил.

4 Фролов С.А. Начертательная геометрия: Учебн. для втузов. – 3-е изд., перераб. и доп., – М.: Инфра-М, 2011. – 285 с.

5 Единая система конструкторской документации. Общие равила выполнения чертежей. – М.: ИПК Издательство стандартов, 2001. – 160 с.

 

Учебно-методическое издание

 

Ларина Светлана Викторовна,

Муравьев Сергей Николаевич,

Пуйческу Фёдор Ильич,

Чванова Нина Александровна

КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Методические указания по дисциплине

«Начертательная геометрия и инженерная графика»

для студентов ИТТСУ, ИУИТ, ИПСС, ИЭФ

и ВЕЧЕРНЕГО факультета

___________________________________________________

                                   Формат 60´84 1/16.

Подписано к печати –       Заказ №                      

Усл. печ. л. –                      Тираж 1500 экз.              ___________________________________________________

УПЦ ГИ МИИТ, Москва, 127994, ул. Образцова, д. 9, стр. 9

* Простейшие геометрические тела: цилиндр, конус, шар и тор.

(Кривая поверхность это множество (геометрическое место) последовательных положений линии, движущейся в пространстве по заданному закону.

* Общая плоскость симметрии включает в себя оси заданных поверхностей.

* Соосными называют поверхности, оси которых совпадают. Если центр сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечёт данную поверхность по окружностям, число которых равно числу точек пересечения главных (очерковых) меридианов поверхностей.

* Сферы с общим центром называют концентрическими.

*К особым точкам кривой относят точки: узловые, перегиба, возврата и излома.

* Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, декартовые координаты которых удовлетворяют уравнениям второй степени.

* Развёртываемую поверхность из вариантов 33488 указывает преподаватель.