Дифракция Фраунгофера на щели

Пусть параллельный пучок лучей падает перпендикулярно на непроницаемую плоскость П с длинной прямоугольной щелью, ширина которой a соизмерима с длиной волны света: АВ = a. За плоскостью П, параллельно ей ставится линза Л, в фокальной плоскости которой на экране Э можно наблюдать дифракционную картину – чередующиеся светлые и темные полосы, параллельные щели.

Для расчета дифракционной картины используется принцип Гюйгенса- Френеля, согласно которому каждая точка волновой поверхности, совпадающей с плоскостью щели, становится источником новых когерентных волн, то есть из каждой точки под всевозможными углами будут выходить когерентные лучи. Линза собирает пучок параллельных лучей, выходящих из точек щели под некоторым углом φ к падающим на нее лучам в одну точку в фокальной плоскости. В результате наложения всех волн в этой точке, в зависимости от фазовых соотношений между колебаниями, возбуждаемыми волнами, может получиться усиление или, наоборот, ослабление интенсивности вплоть до гашения света. Все лучи, идущие от щели в том же направлении, что и падающие, придут в одинаковой фазе. В центре дифракционной картины в точке Р_о получается максимум.

В точку Р_φ дифракционной картины придут когерентные волны с одинаковой амплитудой от разных точек щели, но с разными фазами: разность фаз δ от волн, идущих от краев щели, зависит от оптической разности хода этих волн ∆ = a^,sin φ согласно известному соотношению

 ,                                                   

где  λ – длина волны света, то есть

Разобьем щель a на очень узкие по ширине одинаковые зоны-полоски, параллельные боковым граням щели. Суммирование волн, пришедших в точку Р_φ проведем с помощью векторной диаграммы. От каждой полоски амплитуда в точке наблюдения (в точке Р_φ) одинакова и равна d A (здесь для удобства d E_m заменили на d A). В точке Р_о между d A нет сдвига по фазе и поэтому

 ,                                    

где индекс (1) у А _О отмечает, что это амплитуда волны от одной щели. То есть эта цепочка образует прямую, что соответствует максимуму интенсивности.

В точке Р_φ при графическом изображении мы получим цепочку векторов  , одинаковых по модулю и повернутых друг относительно друга на один и тот же угол; а разность фаз между   и  , где N – число полосок в щели, равно  . Это сложение показано на рисунке.

Результирующая амплитуда изобразится вектором  – хордой окружности с центром в точке С.

     Видно, что ,  , где R - радиус окружности.  Исключив R, получим

= .

    Но .  В итоге

,

где  – амплитуда колебаний дифракционного максимума нулевого порядка, то есть, при . Модуль ставится потому, что амплитуда всегда положительна.

 обращается в нуль для углов φ, удовлетворяющих условию

  или  , где     m = ...

Последнее выражение определяет положение минимумов (число m является номером минимума). Кроме того из этого выражения видно, что уменьшение ширины щели a приводит к расширению дифракционной картины. Между минимумами располагаются максимумы. Амплитуда  в максимумах определяется максимумами функции

, или , где .

Амплитуда имеет максимум при выполнении условия

, то есть , или .

Очевидное решение , что соответствует центральному максимуму. Последующие решения дают:

; ; ; ….

    Условия 1-го, 2-го и 3-го максимумов можно записать в виде:

  .

Так как интенсивность монохроматической волны пропорциональна квадрату амплитуды , можно записать

 .                                             

Приняв = 1, получим, что интенсивности центрального (нулевого) и боковых (первого, второго, третьего) максимумов относятся друг к другу, как

: …= 1:0,047:0,016:0,008: ….

В центральном максимуме сосредоточена основная доля световой энергии, проходящей через щель. Ниже представлено распределение интенсивности света в фокальной плоскости линзы (без соблюдения масштаба). Угловая полуширина центрального максимума равна    (для малых углов ).