Свойства неопределенного интеграла.

 

Из определения неопределенного интеграла вытекают следующие его свойства.

1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:

[òf(x)dx]¢ = [F(x) + C] = F¢(x) = f (x)

 

2. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

òK f(x)dx = K òf(x)dx

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

òdF(x) = F(x) + C

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности:

ò(f(x) ± g(x))dx = òf(x)dx ± òg(x)dx

 

 

Таблица основных интегралов.

 

Нижеприведенная таблица неопределенных интегралов получена либо из сравнения с таблицей производных из понимания того, что интегрирование – процедура, обратная дифференцированию, либо непосредственным дифференцированием правой части формулы. Таблица очень краткая и приведена в качестве иллюстрации.

 

№ п/п	òf(x)dx= F(x) + C
1
2
3
4
5	∫
6
7
8
9
10
11

 

Основные методы интегрирования.

 

Нахождение неопределенного интеграла – сложная математическая задача, нет единого универсального метода, который позволил бы решить данную задачу. По алгебраическому виду интеграла его можно отнести к определенному классу интегралов, для которых метод нахождения неопределенного интеграла разработан. Хотя существует много различных методов интегрирования, все они основаны на преобразовании (приведении) первоначального интеграла к табличному виду. Рассмотрим некоторые из простых методов.

 

 

Метод интегрирования по формулам.

 

Способ нахождения неопределенных интегралов методом непосредственного использования таблицы интегралов в литературе по математическому анализу имеет несколько названий: непосредственное интегрирование, метод тождественных преобразований, метод интегрирования по формулам. Как правило, для того, чтобы привести интеграл к табличному виду, с первоначальным интегралом òf(x)dx необходимо проделать несложные тождественные преобразования.

 

Приведем несколько примеров.

 

1. ò(3cos x + 4x³ – e^x )dx = ò3cos x dx + ò4x³ dx - òe^x dx = 3sin x + x⁴  - e^x +C

 

2.

 

3.    

 

      =

 

Правильность интегрирования проверяется дифференцированием найденного неопределенного интеграла. Производная должна быть равна подитегральной функции. Проверка основана на свойстве равенства

 

                                                     F¢(x) = f(x).

                                                   

 

 

Метод замены переменных.

 

В некоторых случаях введение новой переменной интегрирования

x = j(t)  позволяет свести неопределенный интеграл

 

                                        òf(x)dx             (1)   

 

 к табличному виду. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Алгоритм метода замены переменной для неопределенного интеграла следующий:

1. Введем новую переменную x = j(t) которая должна свести интеграл (1) к табличному виду. Решая данное уравнение относительно t имеем:

 

t = ψ(x)

 

2. В первоначальном интеграле (1) сделаем замену переменных:

f (x)=

 dx = j¢(t)dt

             (2)

3. Интеграл (2) должен решаться в силу основного свойства подстановки x = j(t): данная подстановка должна сводить первоначальный интеграл к табличному виду. Решение интеграла (2) имеет следующий вид:

             (3)

4. В интеграле (3) сделаем замену переменных t = ψ(x), то есть возвращаемся к первоначальной переменной х:

        F(t) + C = F(ψ(x)) + C   (4)        

Для того, чтобы убедиться в том, что найденный интеграл (4) найден правильно, можно продифференцировать выражение (4) и сравнить с подинтегральной функцией интеграла (1). Подинтегральная функция f(x) должна совпадать с производной F¢(ψ(x)):

 

                                     F¢(ψ(x)) = f(x).  

 

3.4.3. Примеры нахождения неопределенного интеграла.

 

В данном примере один и тот же интеграл решен двумя разновидностями метода подстановки.

Найти неопределенный интеграл

 

                                                        

1 способ.

 

1. = -

1.1. Делаем замену переменных: t = cos x

1.2. Выражаем старую переменную через новую: x = arccos t

1.3. По определению дифференциала:

                  dx = j¢(t)dt = (arccos t)′ dt =

                  dx=

 

1.4. sin²x + cos²x = 1, т.к. t = cos x, то sin²x + t² = 1,

             sin x =

1.5. Заменяем в первоначальном интеграле cos x, sin x, dx через t.

1.6. Первоначальный интеграл свелся к табличному относительно t. Найти интеграл относительно t.

 1.7. При использовании метода подстановки надо помнить, что после взятия неопределенного интеграла необходимо возвращаться от новой переменной t к первоначальной переменной x. Возвращаемся от переменной t к переменной х.

 

2 способ.

 

2.

        2.1. Вводим переменную t = cos x

        2.2. Берем дифференциал от обеих частей и находим dx:

                 dt = - sin x dx

          sin x dx = - dt

                dx = - dt / sin x

         2.3. Подставляем вместо cos x и dx их выражения через t в первоначальный интеграл и сводим его к табличному.

 

 

Определенный интеграл.