Определение определенного интеграла.

Пусть на отрезке [а; в] определена непрерывная функция f(x). Отрезок [а; в] разобьем на частичные отрезки Dx = x_i+1- x_i. Выберем на каждом отдельном отрезке Dx_i произвольным образом точку t_i и составим сумму:

S =

Если существует предел

I= , то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [а; в], а число I называется определенным интегралом функции f(х) на отрезке [а; в] и обозначается символом:

 

                

 

По определению функция f(x) называется подинтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, a и b – пределы интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел).

Геометрически определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), снизу – отрезком [a; b] оси ОХ, с боков отрезками прямых х =а и х = b.

 

 

                

Рис. 2

 

 

Свойства определенного интеграла.

 

1. Определенный интеграл от функции с равными пределами равен 0.

                                

    2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

                              

   3. Интеграл по отрезку [a; b] равен сумме интегралов по частям данного отрезка:

                          

4. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

 

                                 

5.  Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности:

 

                               

 

5. Если f(x)>0 на отрезке [a; b], то                                                                                                                                        

                                      

 

4.3. Формула Ньютона-Лейбница.

 

 

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке, то:

                           

Данная формула называется формулой Ньютона-Лейбница. Она устанавливает теоретическую связь между определенным и неопределенным интегралом и дает удобное практическое правило вычисления определенного интеграла. Для краткости записи употребляется обозначение:

 

                             F(b) – F(a) = F(x)  

 

поэтому формула Ньютона-Лейбница принимает вид:

 

              

 

 

Замена переменной в определенном интеграле.

 

Замена переменной в определенном интеграле позволяет сначала найти неопределенный интеграл, а затем, воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, найти определенный интеграл.

 Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], функция x = j(t) имеет на отрезке [а;b] непрерывную производную, при этом  и . Тогда:

 

   

 

Данная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле или формулой подстановки.

Если при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены переменной необходимо от новой переменной t возвращаться к старой переменной х, то при вычислении неопределенного интеграла этого делать не надо.

Алгоритм нахождения определенного интеграла

Методом замены переменной.

Алгоритм нахождения определенного интеграла методом замены переменной состоит из следующих шагов.

1. Подберем такую переменную x = j(t), которая сведет первоначальный интеграл к табличному виду.

2. Заменим старые пределы интегрирования на новые. Для этого равенство x = j(t) разрешается относительно t:

                                           t= ψ(x).

Нижний предел интегрирования равен α=ψ(a). Верхний предел интегрирования равен β=ψ(b).

 

                          

 

 

Таким образом, вместе с заменой переменной в первоначальном интеграле меняются и пределы интегрирования. Первоначальный определенный интеграл свелся к табличному интегралу относительно t:

 

 

                             

3. Пусть его первообразная равна F(t), на основании формулы Ньютона – Лейбница можно написать:

 

                          F(t) = F(β) – F(α).

Первоначальный интеграл найден.

          Приведем полную последовательность вычислений:

 

           

 

         Следует обратить внимание на то, что в первообразной F(t) нет необходимости    возвращаться к первоначальной переменной х (t= ψ(x), F(ψ(x)). Возврат к первоначальной переменной приведет к необходимости вернуться к старым пределам интегрирования. Это не ошибка – просто увеличится объем вычислений.

4.6. Примеры нахождения определенного интеграла.

 

1.   = 

1.1. Возьмем новую переменную: ,

        выражаем старую переменную через новую:

               

1.2. По определению дифференциала:   

1.3. Делаем замену пределов интегрирования:           (1)

Замена пределов интегрирования происходит следующим образом.

Для старой переменной х нижний предел интегрирования равен p/8, но так как t = 2x, для t нижний предел равен:

                                          

Для старой переменной х верхний предел интегрирования равен p/6, но так как t = 2x, верхний предел интегрирования для t равен               

                                        

=  

 

Практически замену пределов интегрирования удобно делать через условное равенство (1).

 

    2. =

 

           1 способ.

 

           t = sinx

           dt = cosx dx

               

          

 

                

 

             2 способ.

 

              t = sinx

              x = arcsin t

              dx = (arcsin t)¢dt =

              sin² x + cos² x = 1

              cos² x = 1 – sin² x = 1 – t²

                          cosx =