Алгебраические свойства координат

1. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это же число:

.

Действительно, по свойствам векторных операций

.

 

2. При сложении векторов соответствующие координаты складываются (вычитаются): если

,

то

.

Действительно, по свойствам векторных операций

.

 

2.6. Скалярное произведение

Определение скалярного произведения

Пусть  угол между ненулевыми векторами  и  — рис. 2.12

 

Рис. 12.

Скалярным произведением двух векторов  и  называется число  (или ), задаваемое двумя условиями:

1) если  или , то ;

2) если  и , то , где  — угол между векторами  и

Таким образом, скалярное произведение ненулевых векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

 

Свойства скалярного произведения

1. Коммутативность: .

Действительно, оба выражения состоят из одних и тех же числовых множителей.

 

 

2. Выражение скалярного произведения через проекции:

.

Действительно, по свойству проекций

.

3. Дистрибутивность относительно сложения векторов:

.

Действительно, по свойству проекций и предыдущему свойству

.

4. Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:

.

Действительно,

.

5. Критерий ортогональности векторов. Если   и  — ненулевые векторы, то их ортогональность равносильна равенству нулю скалярного произведения:

.

Действительно,

.

6. Скалярное произведение базисных ортов. Справедливы равенства:

;

.

Действительно, первая цепочка равенств следует из свойства 5. Далее, если два вектора совпадают, то угол между ними равен нулю; тогда

.

Итак, скалярное произведение одноимённых ортов равно единице, а разноимённых — нулю

7. Модуль вектора выражается через скалярное произведение: , поэтому

.

8. Косинус угла между векторами выражается через скалярное произведение:

.

 

2.7. Геометрический смысл координат вектора

Если вектор   имеет в ортонормированном базисе  координаты , то

; ; .

Действительно, ; умножим обе части скалярно на орт :

.

По свойству 2 

;

с другой стороны, по свойству 6

.

Замечание. Поскольку в декартовой системе координат направление оси Ox совпадает с направлением орта , то первую координату  обозначают также через , аналогично вторую — через , третью — через :

.

 

Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Если векторы   и  имеют в ортонормированном базисе  координаты , то для их скалярного произведения справедлива формула

.

Убедимся в этом:

Поскольку скалярное произведение одноимённых ортов равно единице, а разноимённых — нулю, то в правой части остаются только три слагаемых:

.

Векторные характеристики в координатной форме

  Выражение модуля вектора через координаты имеет вид:

.

Выражение для косинуса угла между векторами:

.

.

Пример. Пусть в ортонормированном базисе

.

Тогда . Заключаем отсюда, что векторы не ортогональны. Далее,

.

;

поскольку , то угол между векторами является тупым.

Векторы плоскости

Определения, данные для векторов пространства, сохраняются и для векторов плоскости. Декартова система координат Oxy связана с ортонормированным базисом . Определение скалярного произведения векторов  и  имеет прежний вид:

1) если  или , то ;

2) если  и , то , где  — угол между векторами  и .

Сохраняется определение координат вектора как однозначно определённых коэффициентов в его представлении линейной комбинацией базисных ортов:

.

При этом

.

Далее,

.

Если угол между векторами равен , то

 

Векторное произведение

Операция векторного произведения вводится только для векторов пространства, причём, в отличие от скалярного произведения, её результатом является вектор.