Замечательные точки треугольника

Замечательные точки треугольника - точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В частности, точка пересечения высот может находиться вне треугольника.

Замечательными точками треугольника являются точки пересечения:

1. медиан — центроид, центр тяжести (центр масс):

Факт того, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.

Свойства:

• Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой массой также находится в центроиде.
• Если М — центроид треугольника, то для любой точки О верно равенство
• Центроид является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника принимает наименьшее значение (теорема Лейбница).
• Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
• Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырёхугольника (равной площади).
• Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин: треугольника.

2. биссектрис — инцентр или центр вписанной окружности:

Свойства:

• Центр вписанной окружности треугольника находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.

3. высот — ортоцентр:

В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольном), вне его (в тупоугольном) или совпадать с вершиной (в прямоугольном — совпадает с вершиной при прямом угле).

Свойства:

• Если в четвёрке точек А, В, С, D точка D является точкой пересечения высот треугольника ABC, то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют ортоцентрической системой точек.

· Радиусы окружностей, проходящих через любые три точки ортоцентрической системы, равны (следствие теоремы Гамильтона для окружности Эйлера). Их часто называют окружностями Джонсона.

· Последнее утверждение можно сформулировать так: Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих равные радиусы описанных окружностей (следствие теоремы Гамильтона для окружности Эйлера). При этом одинаковый радиус этих трех окружностей равен радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.

• Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности
• Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
• Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника..
• Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
• Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.

• Расстояние от центра описанной окружности до стороны равно . расстояние от ортоцентра до вершины равно .

4. серединных перпендикуляров — центр описанной окружности.

5. симедиан — точка Лемуана.

6. кливеров треугольника - Центр Шпикера.