Математическое моделирование пластовых систем.

Основная цель моделирования нефтяного пласта - описание его состояния с помощью соответствующих математических уравнений.

При моделировании пласта можно достаточно детально представить пласт путем разбиения его на блоки (иногда на несколько тысяч) и применения к каждому из них основных уравнений фильтрации.

В настоящее время используются программы для моделирования некоторых очень сложных процессов, протекающих при осуществлении различных вариантов разработки.

Для обозначения таких программ используют следующие равноценные термины: математические модели, численные модели, сеточные модели, конечно – разностные модели и далее пластовые модели.

В действительности в процессе разработки программы для моделирования пласта применяют три вида моделей:

1. Математическая модель.  

Моделируемая физическая система описывается соответственно математическим уравнениями. Математические модели составляют на основе системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями.

2. Численная модель.

Уравнения, описывающие математическую модель пласта, почти всегда настолько сложны, что их невозможно решить аналитическими методами. Чтобы представить уравнения в форме, пригодной для решения на цифровых вычислительных машинах, следует их аппроксимировать, т.е. заменить исходные дифференциальные уравнения системой алгебраических уравнений. Численная модель состоит из полученной системы уравнений.

3. Машинная модель – это программа или система программ для ЭВМ, составленная с целью решения уравнений численной модели. Так математическая модель может отражать только те явления, которые были учтены при выводе дифференцируемых уравнений. Для конкретных месторождений эта информация часто является неполной. С помощью программ, базирующихся на данной конкретной модели, решается ряд дополнительных задач – например – изменение режима залежи, явления тепломассопереноса при закачке термоагентов и др.

Математическая постановка задач и их численное решение зависит от типа физической системы и допущений, принятых при разработке ее математической модели.

Различные формы уравнений (линейной, одномерной, однофазной) фильтрации можно подразделить:

1. Задачи стационарной линейной фильтрации, описываемые линейными обыкновенные дифференциальными уравнениями:

2. Задачи нестационарной линейной фильтрации, описываемые линейными дифференциальными уравнениями в частных производных:

3. Задачи нестационарной линейной фильтрации, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами:

Моделирование многофазной фильтрации по сравнению с однофазным течением требует специальных методов решения, т.к. рассматривается система связанных нелинейных уравнений. Здесь используется метод аппроксимации, т.е. замена исходной задачи другой, более легкой, решение которой близко к решению исходной задачи. Одним из таких методов применяемых для решения математических задач разработки нефтяных месторождений является метод конечно – разностных аппроксимаций.

Сущность конечно – разностного метода заключаются в замене исходных дифференцируемых уравнений системой алгебраических уравнений. Если полученная система линейная, то для ее решения применяют прямые и итерационные методы (к прямым методам относят метод Гаусса и его модификации; к итерационным – например метод Ньютона).

Если имеем дифференцируемое уравнение для искомой функции U, которая зависит от пространственной переменной X и времени t, то можно считать, что значения независимых переменных находятся на некоторой плоскости x, t.

При использовании конечно – разностных методов производят дискретизацию, т.е. замену непрерывных переменных x и t упорядоченной системой точек (узлов) на плоскости x, t со значениями по оси абсцисс x_i и по оси ординат t_n (i = 0, 1, 2,3….); n =(0, 1, 2,3…. N).

Геометрически дискретизацию можно интерпретировать как разделение плоскости x, t прямыми; параллельными осями x и t, т.е. нанесением на плоскость x, t сетки, узлы которой имеют координаты x_i, t_n.

Прямоугольник с координатами x_i, x_{i +1}, t_n, t_{n +1} конечно – разностной ячейкой. Совокупность узлов x_i (i = 0, 1, 2…. I) при фиксированном t_n, т.е. узлов, лежащих на прямых, параллельных оси x, называемой временным слоем.

Функция U теперь будет определена в узлах и обозначаться как:

Разности x_{i +1} - x_i = Δ x_{i +1} и t_{n +1} - t_n = Δ t_{n +1} называются соответственно шагами по пространству и времени.

 

 

Если Δ x = const или Δ t = const, то сетка по пространству или по времени равномерная.

Для аппроксимации первой производной функции U по времени в узле i на n – ом временном слое имеем:

Δ t – шаг по времени      

Аналогично аппроксимируется и первая производная функция U по пространству, например:

h – шаг по координате  

Интеграл ошибок или интеграл вероятности ошибок.

     
  

Используют явные и неявные конечно – разностные схемы.

Конечно – разностные схемы лежат в основе решения системы дифференциальных уравнений при построении трехмерных, трехфазных математических моделей нефтяных пластов.