Оценка и представление случайных погрешностей

Прямое однократное измерение

Результатом прямого однократного измерения физической величины Y_ИЗМ = А является показание, снятое непосредственно с используемого сред­ства измерения.

Погрешность результата измерения включает погрешность СИ, пог­решность использованного метода измерения и субъективную погрешность оператора. Каждая из этих составляющих может иметь не­исключенные систематические погрешности и случайные.

Оценивание погрешностей прямых однократных измерений можно подразделить на точное и приближенное,

Рассмотрим методику точной оценки. Пусть число неисключенных систематических погрешностей равно т и каждая задана границами ±q _i, или доверительными границами ±q _i (Р _j), т.е. границами с известной дове­рительной вероятностью Р j = Р _{Д j}. В этом случае доверительная граница систематической составляющей результата измерения q = q(P _Д ) оцени­вается с задаваемой доверительной вероятностью Р д по одной из сле­дующих формул:

где k — коэффициент, зависящий от Р _д и т, а k_j — коэффициент, зависящий от Р _j и оценивае­мый аналогично коэффициенту k.

Оценка доверительной границы случайной погрешности результата измерения e = e(Р _д) с задаваемой доверительной вероятностью Р = Р _д выполняется в порядке, зависящем от вида представления случайных составляющих (погрешностей СИ, метода, оператора).

Погрешность результата прямого однократного измерения D = D(P _д) для известного значения оценки СКО S(A) оценивается по одной из формул:

Значения	Погрешности результата измерения D

Значения коэффициента К при величинах доверительной вероятности Р д = 0,95 или Р д = 0,99 определяются из таблицы.

	0,8	1	2	3	4	5	6	7	8
K при Р д = 0,95	0,76	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81
K при Р д = 0,99	0,84	0,82	0,80	0,81	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

Результат прямого однократного измерения величины записывается в форме  где  — результат измерения; Р _д — доверительная вероятность пог­решности результата прямого измерения D. Рекомендуется выбирать вероятность Р _д= 0,95.

Рассмотрим особенности приближенной оценки погрешностей ре­зультата прямого однократного измерения. При такой оценке, как и при точной, необходимо перед началом измерений провести предва­рительную оценку составляющих погрешности результата и собст­венно погрешности измерения. Эта информация извлекается из опы­та проведения подобных измерений, из нормативно-технической до­кументации на используемые средства измерений, из научно-технических отчетов и других источников. Если оценка погрешности пре­вышает допустимую, то следует выбрать более точное средство изме­рений или изменить методику измерения.

Допускается пренебрежение случайными погрешностями, если доказано, что граница q неисключенных систематических погрешностей результата из­мерения больше СКО  случайных погрешностей в восемь раз и более.

В простейшем случае погрешность результата измерения равна пре­делу основной погрешности средства измерения D_си, определяемой по нормативно-технической документации, если измерения проводились в нормальных условиях. При этом результат измерения можно записать в виде  т.е. без указания доверительной вероятности, которая подразумевается равной 0,95. Если же измерения проводились в услови­ях, отличающихся от нормальных, то следует определять и учитывать пределы дополнительных погрешностей, а затем суммировать их с ос­новными. Порядок такого суммирования приведен в нормативных мет­рологических документах.

Прямое многократное измерение

Необходимость многократных наблюдений некоторой физической величины возникает при наличии в процессе измерений значительных случайных погрешностей. В этом случае задача состоит в том, чтобы по результатам наблюдений найти оценку истинного значения и интервал, в котором находится сама величина с заданной вероят­ностью. Решение задачи выполняется способом статистической обра­ботки результатов наблюдений, основанным на гипотезе о распре­делении случайных погрешностей этих результатов по известному за­кону.

Многократные измерения позволяют уменьшить (отфильтровать) случайную погрешность. Для исключения погрешности необходимо бесконечное количество измерений. При ограниченном числе измерений находится лишь оценка случайной погрешности. Оценки - это случайные величины (в отличии от моментов) и должны удовлетворять условиям: состоятельности, несмещенности, эффективности.

Наиболее распространенной оценкой случайной погрешности является оценка среднеквадратического отклонения

,

где среднее арифметическое результатов наблюдений:

Среднеквадратическая погрешность (оценка) среднего арифметического результатов измерений:

.

То есть, увеличивая N, случайную погрешность можно сделать пренебрежимо малой по сравнению с систематической. Такой прием называют фильтрацией случайной составляющей погрешности.

Дополнительно характеризуют случайную погрешность: доверительная вероятность (коэффициент надежности) и доверительный интервал (интервальная оценка). Доверительная вероятность a означает вероятность того, что результат измерений (действительное значение) отличается от истинного не более чем на D:

 P(Y_ср -D<Y₀<Y_cp+D) = a, где Y_cp-D...Y_cp+D — доверительный интервал.

Для нормального закона распределения, выбрав a=0.95, получим доверительный интервал в пределах ±2s*Y_cp. Погрешность D^0.9 обладает тем уникальным свойством, что для широкого класса наиболее употребляемых законов распределения только она имеет однозначное соотношение со средним квадратическим отклонением в виде D^0.9 =1.6s. Поэтому при отсутствии данных в виде закона распределения для определения доверительной вероятности предписывается использовать Р_д = 0.9. Доверительная вероятность Р_д = 0.99 используется лишь при указании погрешности первичных и рабочих эталонов.

Доверительный интервал 3s* используется для определения грубых погрешностей (промахов). Например, при N >30 всегда отбрасываются результаты, отличающиеся более чем на 3s*, так как вероятность их появления 0.003. Это правило ТРЕХ СИГМ.

Оценка результата измерения

Предположим, что при выполнении п много­кратных наблюдений одной и той же величины x _и постоянная системати­ческая погрешность D_с полностью исключена (равна нулю). Тогда ре­зультат i- го наблюдения х _i = х _и + D _i, находится с некоторой абсолютной случайной погрешностью D _i = D _i = х _i - х _и.

При нормальном законе распределения погрешности, за истинную величину х _и = А принимают ее оптимальную оценку в виде среднего арифметического значения (оценки математического ожидания) выполненного ряда наблюдений:

Зная оценку истинного значения величины х _и, вычисляют аб­солютную погрешность каждого из п наблюдений  Далее находят оценку СКО, характеризующую точность метода измерений:

Затем вычисляют оценку СКО значения , которая называется среднеквадратическим отклонением результата измерения. Данное СКО ха­рактеризует степень разброса значений по отношению к истинному значению и для различных п определяется по формуле

Из приведенных выражений и следует, что точность метода и результата многократных наблюдений п увеличиваются с ростом числа последних. Если погрешность D _i = D _i +D_с есть сумма случайной D _i и постоянной систематической D_с погрешностей, то оценка результата измерений будет иметь вид:

Из этого выражения следует, что многократные наблюдения и уве­личение их числа п не влияют на систематическую составляющую пог­решности результата измерений, но уменьшают случайную (за счет различных знаков отдельных реализации). Поэтому в случае, когда в результате многократных наблюдений преобладает систематическая по­грешность (например, при использовании прибора низкой точности), целесообразно ограничиться только одним измерением.