Решение задачи потребительского выбора

 

Задачу потребительского выбора заменим задачей на условный экстремум:

U (х₁, х₂) → max

при условии                                    (4)

р₁х₁ + р₂х = I

Для решения задачи применим метод Лагранжа.

Выписываем функцию Лагранжа:

L (х₁, х₂, λ) = U (х₁, х₂) + λ (р₁х₁ + р₂х₂ – I),                  (5)

находим ее первые частные производные по переменным х₁, х₂, λ; приравниваем эти частные производные к нулю:

Исключив из полученной системы трех уравнений с тремя неизвестными, неизвестную λ, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными х₁ и х₂

р₁х₁ + р₂х₂ = I.

Решение (х₁⁰, х₂⁰) этой системы есть «укороченная» критическая точка функции Лагранжа.

Можно строго доказать, что «укороченная» критическая точка (х₁⁹, х₂⁰) функции Лагранжа обязательно есть решение задачи потребительского выбора (за исключением так называемых угловых решений, которые не рассматриваются).

Подставив решение (х₁⁹, х₂⁰) в левую часть равенства

          (6)

получим что в точке (х₁⁰, х₂⁰) локального рыночного равновесия индивидуума отношение предельных полезностей U₁́(х₁⁰, х₂⁰) и U₂́(х₁⁰, х₂⁰) продуктов равно отношению рыночных цен р₁ и р₂ на эти продукты:

В связи с тем, что отношение равно предельной норме за-

мены первого продукта вторым в точке локального рыночного равновесия (х₁⁰, х₂⁰) из (6) следует, что эта предельная норма равна отношению рыночных цен  на продукты.                                     Приведенный результат играет важную роль в экономической теории.

Геометрически решение (х₁⁰, х₂⁰) можно интерпретировать как точку касания линии безразличия функции полезности U(х₁, х₂) с бюджетной прямой р₁х₁ + р₂х₂ = I (рис.2). Это определяется тем, что отношение

 показывает тангенс угла наклона бюджетной прямой.

Поскольку в точке потребительского выбора (или локального рыночного равновесия) они равны, в этой точке происходит касание двух линий.

Из приближенного равенства

 , и соотношения (6)

следует, что

                  (7),   т.е. отношение (со знаком минус) конечных (относительно небольших) изменений Δх₂⁰ и Δх₁⁰ объемов продуктов в локальном рыночном равновесии (х₁⁰, х₂⁰) приближенно равно отношению рыночных цен р₁ и р₂ на продукты.

Выводы. Равенство (7) позволяет давать приближенные оценки отношению рыночных цен, если известны конечные изменения объемов продуктов относительно потребительского набора, приобретенного потребителем, т.е. набора, который естественно следует толковать в качестве оптимального для потребителя.

Координаты х₁⁰ и х₂⁰ решения (х₁⁰ и х₂⁰) задачи потребительского выбора есть функция параметров р₁, р₂, I:

х₁⁰ = х₁⁰ (р₁, р₂, I),

х₂⁰ = х₂⁰ (р₁, р₂, I).

Полученные функции называются функциями спроса на первый и второй продукты.

Важным свойством функции спроса является их однородность нулевой степени относительно цен и дохода, т.е. значения функций спроса инвариантны по отношению к пропорциональным изменениям цен и дохода.

х₁⁰ (λр₁, λр₂, λI) = х₁⁰ (р₁, р₂, I)

х₂⁰ (λр₁, λр₂, λI) = х₂⁰ (р₁, р₂, I) для любого λ > 0.

Это означает, что если цены и доход изменятся в одно и то же число раз, величина спроса на продукт (первый или второй – безразлично) остаются неизменной.

 

Пример задачи потребительского выбора

 

Пусть неизвестные количества благ равны х₁ и х₂, а их рыночные цены р₁ и р₂:

U (х₁, х₂) = х₁ х₂ → max

р₁х₁ + р₂х₂ ≤ I

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0,

Бюджетное ограничение в оптимальной точке должно выполняться как равенство, и поскольку ода блага жизненно необходимы (полезность равна нулю, если одно из них отсутствует), требования неотрицательности переменных будут выполнены автоматически. Следовательно, решаемая задача математического программирования превращается в классическую задачу на условный экстремум. Запишем необходимые условия экстремума: отношения предельных полезностей благ должны равняться отношениям их рыночных цен, а бюджетное ограничение выполняется как равенство.

Получим систему уравнений:

         

р₁х₁ + р₂х₂ = I

Первое условие означает, в задаче количество денег на оба блага, должны быть одинаковыми,

то есть х₂ р₂ = х₁ р₁.

Это вытекает из равенства «весов», или показателей степени у переменных х₁ и х₂ в функциях полезности.

Итак

х₂ р₂ = р₁ х₁ =

и функция спроса приобретает вид:

х₁ = ; х₂ =   .

Расход на каждое благо составляет половину дохода потребителя, и чтобы найти необходимое количество каждого блага, следует разделить расходуемую на него сумму на его цену.

Самостоятельно для этой простой модели найти решение без использования метода множителей Лагранжа, выражая х₂ через х₁ из бюджетного ограничения, подставляя это выражение в функцию полезности (которая становится полиномом второй степени от одной переменной) и находя максимум полученной квадратичной функции.