Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

 

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

 

Определение 7.1. Уравнение

                                 Ф(х,у) = 0                                                                               (7.1)

называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.

 

Пример.

(х – а)² + (y – b)² = R ² - уравнение окружности радиуса R с центром в точке (a,b).

 

Замечание. Часто удобно использовать параметрические уравнения линии:

                                             ,                                                (7.2)

где функции  и  непрерывны по параметру t.

 

                         Прямая на плоскости.

 

Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.

Пусть прямая проходит через точку М₀ (x₀, y₀) перпендикулярно вектору n = { A, B }. Тогда вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, ортогонален n. Поэтому координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

                   А (х – х₀) + В (у – у₀) = 0 -                                                     (7.3)

уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Замечание. Вектор n называется нормалью к прямой.

 

Преобразуем уравнение (7.3) к виду:

                Ах + Ву + (-Ах₀ – Ву₀) = 0.

Обозначив -Ах₀ – Ву₀ = С, получим общее уравнение прямой:

                Ах + Ву + С = 0.                                                                       (7.4)

Получим теперь уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (x₀, y₀) параллельно вектору q = { l, m }. Так как вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, коллинеарен q, координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

                   ,                                                                     (7.5)

называемому каноническим уравнением прямой. Вектор q при этом называется направляющим вектором прямой. В частности, если прямая проходит через точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂), ее направляющим вектором можно считать , и из уравнения (7.5) следует:

                     -                                                                 (7.6)

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки М (1,2) и N (5,-3). Уравнение (7.6) примет вид:

           - общее уравнение данной прямой.

 

Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения (7.5),

можно преобразовать это уравнение к виду:

              x = x₀ + lt, y = y₀ + mt -                                                                (7.7)

параметрические уравнения прямой.

Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k – тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение

у l                      прямой в виде:

                                                     у = kx + b -                                              (7.8)           

     b   l ₁                    уравнение прямой с угловым коэффициентом.

α α                    Действительно, все точки прямой l ₁, параллельной l и проходящей

                             х через начало координат, удовлетворяют уравнению у = kх, а

                                   ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них

                                   на постоянную величину b.

 

 

                   Неполные уравнения прямой.

Уравнение (7.4) называется полным, если коэффициенты А,В и С не равны нулю, и неполным, если хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Рассмотрим возможные виды неполных уравнений прямой.

1) С = 0 - прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат.

2) В = 0 - прямая Ах + С = 0 параллельна оси Оу (так как нормаль к прямой { A,0} перпендикулярна оси Оу).

3) А = 0 - прямая Ву + С = 0 параллельна оси Ох.

4) В=С =0 – уравнение Ах = 0 определяет ось Оу.

5) А=С =0 – уравнение Ву = 0 определяет ось Ох.

 

Таким образом, прямая, задаваемая полным уравнением, не проходит через начало координат и не параллельна координатным осям. Преобразуем полное уравнение прямой следующим образом:

           Ах + Ву + С = 0 |:(- C),                                   (7.9)

где  и  равны величинам отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. Поэтому уравнение (7.9) называют уравнением прямой в отрезках.

 

         Угол между прямыми. Условия параллельности и

                     перпендикулярности двух прямых.

 

1. Если прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

А₁х + В₁у + С₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂ = 0,

то угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами {A₁,B₁} и {A₂,B₂}. Следовательно,

                .                                                           (7.10)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к условиям параллельности и перпендикулярности нормалей:

          - условие параллельности,                                       (7.11)

          - условие перпендикулярности.                   (7.12).

2. Если прямые заданы каноническими уравнениями (7.5), по аналогии с пунктом 1 получим:

                  ,                                                   (7.13)

              - условие параллельности,                                         (7.14)

             - условие перпендикулярности.                      (7.16).

Здесь  и - направляющие векторы прямых.

3. Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами (7.8)

     у = k₁x +b₁ и y = k₂x + b₂, где , а α₁ и α₂ – углы наклона прямых к оси Ох, то для угла φ между прямыми справедливо равенство: φ = α₂ - α₁. Тогда

 .                                                (7.17)

Условие параллельности имеет вид: k₁=k₂,                                                (7.18)

условие перпендикулярности – k₂=-1/k₁,                                                (7.19)

поскольку при этом tgφ не существует.

 

                      Расстояние от точки до прямой.

 

Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат). Пусть n – единичный вектор, направление которого совпадает с ОР. Составим уравнение прямой L, в которое входят два параметра: р – длина отрезка ОР и α – угол между ОР и Ох.

 у                                       Для точки М, лежащей на L, проекция вектора ОМ на прямую

L                                        ОР равна р. С другой стороны, пр_nOM=n·OM. Поскольку

    Р                               n ={cos α, sin α }, a OM ={ x, y }, получаем, что

n    M                                              x cosα + y sinα = p, или

О                          х                             x cosα + y sinα ­­- p = 0 -                    (7.20)

                                        - искомое уравнение прямой L, называемое нормальным

                                        уравнением прямой (термин «нормальное уравнение» связан

                                        с тем, что отрезок ОР является перпендикуляром, или нормалью, к данной прямой).

 

Определение 7.2. Если d – расстояние от точки А до прямой L, то отклонение δ точки А от прямой L есть число + d, если точка А и начало координат лежат по разные стороны от прямой L, и число – d, если они лежат по одну сторону от L.

 

Теорема 7.1. Отклонение точки А(х₀,у₀) от прямой L, заданной уравнением (7.20), определяется по формуле:

       .                                                                     (7.21)

Доказательство.

 у Q                    Проекция OQ вектора ОА на направление ОР равна                 

P     A           n·OA =x₀ cosα + y₀ sinα. Отсюда δ = PQ=OQ-OP=OQ-p =    

n                        x₀ cosα + y₀ sinα - p, что и требовалось доказать.

O

              L

Следствие.

Расстояние от точки до прямой определяется так:

                                                                          (7.22).

 

Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.

 

Пример. Найдем расстояние от точки А (7,-3) до прямой, заданной уравнением

3 х + 4 у + 15 = 0. А ² + B ²=9+16=25, C =15>0, поэтому нормирующий множитель равен

-1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид:  Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно

 Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8.

 

 

Лекция 8.