Критерий устойчивости Гурвица

Пусть задан характеристический полином замкнутой АСР (или отдельного звена)

 

Для оценки устойчивости составим из коэффициентов D(s) определитель (матрицу) Гурвица n-ого порядка

Правило построения определителя видно из таблицы. Сначала заполняются первые две строки определителя, остальные получаются сдвигом двух предыдущих на одну позицию вправо. Свободные места заполняются нулями.

Введем в рассмотрение диагональные определители  – определители меньшего i-ого порядка расположенные на главной диагонали (выделены пунктиром).

,

.

Условия устойчивости по критерию Гурвица.

Система устойчива, если положительны свободный член , коэффициент при старшей степени D(s) и диагональные определители Гурвица, то есть

, , , ,…, .

Таким образом, условие устойчивости сводится к выполнению (n+1) неравенства.

Последний определитель  считать не нужно. Раскладывая определитель по последнему столбцу, получаем

.

Если  и , то и .

Если хотя бы одно из условий не выполняется, то система не устойчива.

Граница устойчивости определяется из условия .

Система на границе устойчивости, если , , а остальные условия выполняются.

При  система имеет нулевой корень . Такая граница устойчивости называется апериодической.

Если , то полином имеет пару чисто мнимых корней . Граница устойчивости называется колебательной.

Рассмотрим частные случаи.

1. n=1

Условия устойчивости

,

сводятся к положительности коэффициентов.

2. n=2

Условия устойчивости

, ,

сводятся к положительности коэффициентов.

3. n=3

Условия устойчивости

, , , .

Таким образом, для системы 3-его порядка положительности коэффициентов не достаточно для устойчивости. Требуется выполнение дополнительного условия, которое удобно сформулировать следующим образом:

Произведение средних коэффициентов D(s) больше произведения крайних

Как видно из уравнения, для обеспечения устойчивости коэффициенты  и  необходимо увеличивать, а  и  наоборот уменьшать.

Замечание. Можно показать (критерий Стодолы) что, если система устойчива, то коэффициенты D(s) положительны. Обратное утверждение, к сожалению, неверно.

Понятие критических параметров.

Параметры системы, при которых она находится на границе устойчивости, называются критическими.

Особую роль играет критический коэффициент усиления разомкнутой системы K_кр.

9.3 Пример исследования устойчивости замкнутой АСР по критерию Гурвица.

Характеристический полином замкнутой АСР имеет вид

, , , .

Исследовать влияние параметров АСР на устойчивость.

Записать условия устойчивости относительно коэффициента усиления (T=const, T>0).

Решение.

T=const >0 – постоянная времени,

K=var – коэффициент усиления разомкнутой системы.

Система имеет третий порядок, условия устойчивости получены выше

,

,

,

Или объединив 1 и 4 условие

.

 

Как видно, коэффициент усиления ограничен условиями устойчивости. Это справедливо для практически любых систем.

 

Найдем значение K соответствующее границе устойчивости

.

Отсюда