Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных

Данный параграф разбит на пункты, в которых мы попробуем прийти к самому общему доказательству, для случая k последовательностей с n числом переменных, с помощью метода математической индукции.

 

Доказательство неравенств с минимальным числом переменных

 

а₁*b₁ – неравенство с минимальным числом переменных. Тогда

 

= a₁b_1.

 

Так как это неравенство минимальное из всех существующих, то сравнивать с похожим неравенством его просто невозможно.

 

Случай с двумя последовательностями из двух переменных

Если = a₁b₁. то =а₁b₁+а₂b₂

Теорема 1. Пусть (а₁а₂₎ (b ₁ b ₂) – одномонотонные последовательности. Тогда

Доказательство

Действительно,

 

 – =a₁b₁+a₂b₂-a₁b₂-a₂b₁ = (a₁-a₂) (b₁-b₂)

 

Так как последовательности (а₁а₂)(b₁b₂) одномонотонны, то числа a₁-a₂ и b₁-b₂ имеют одинаковый знак. Поэтому

 

(a₁-a₂) (b₁-b₂)  0.

 

Теорема доказана.

 

Упражнения

Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 1

Упражнение №1.

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство

 

a³ +b³  a²b+b²a.

 

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

 

a³ +b³ = , a²b+b²a =

 

А так как последовательности (a², b²), (a, b) одномонотонны, то

 

А это значит, что a³ +b³  a²b+b²a.

Что и требовалось доказать.

Докажем это же неравенство, но другим способом.

 

 

Значит a³ +b³  a²b+b²a.

 

Что и требовалось доказать.

 

Мы не можем сказать какой из методов доказательства решения легче, так как в данном случае оба метода решения неравенства примерно одинаковые по сложности.

Упражнение №2.

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство.

 

а²+b².

 

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

 

а²+b² = , ,

 

А так как последовательности (), () одномонотонны, то

 

.

 

Что и требовалось доказать.

 

Случай с двумя последовательностями из трех переменных

 

Рассмотрим последовательность (а₁,а₂,а₃) и (b ₁, b₂,b₃), и запишем в виде таблицы

 

 

Если последовательность (а₁,а₂,а₃) (b₁, b₂ ,b₃) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а₁,а₂,а₃ находиться над наибольшим из чисел b ₁,b₂,b₃, а второе по величине а₁,а₂,а₃ находиться над вторым по величине из чисел b ₁,b₂,b₃, и где наименьшее из чисел а₁,а₂,а₃ находиться над наименьшим из чисел b ₁,b₂,b₃ то последовательность одномонотонная.

 

Если =a₁b₁, и =а₁b₁+а₂b₂, то =а₁b₁+а₂b₂+a₃b₃

Для доказательства следующих теорем нам понадобится одно свойство одномонотонных последовательностей, которое оформим в виде леммы.

Лемма. Если (а₁, а₂, …а _n) и (b ₁, b₂,… b_n) одномонотонные последовательности, то их произведение не изменится при перестановки местами столбцов.

Доказательство.

Рассмотрим последовательность с двумя переменными из двух переменных.

 

=а₁b₁+а₂b₂.

 

Заметим, что а₁b₁+а₂b₂ = а₂b₂+ а₁b₁ по переместительному свойству сложения. Значит, в самой таблице мы тоже можем переставлять столбцы переменных, при этом сохраняется одномонотонность последовательности. То есть

 

=

 

Теперь рассмотрим последовательность с двумя последовательностями из трех переменных.

 

=а₁b₁+а₂b₂+a₃b₃.

 

Кроме того, что мы можем поменять переменные по переместительному свойству, а по сочетательному свойству мы можем объединять некоторые слагаемые, сохраняя одномонотонность последовательности. То есть

 

а₁b₁+а₂b₂+a₃b₃= (a₃b₃+а₂b₂)+ а₁b₁ =

Лемма доказана

Теорема 2. Пусть (а₁ а₂ а₃), (b₁ b₂ b ₃) – одномонотонные последовательности и ()( здесь и в дальнейшем ) любая перестановка чисел b₁ b₂ b ₃. Тогда

 .

Доказательство.

Действительно, если последовательность  отличается от (b₁ b₂ b₃) то найдется пара чисел k, l (1 k<l 3) такая, что последовательности (a_k, a_l) и (b_k, b_l) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа  и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть

 

, так как .

 

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана

Упражнения