Выбор метода решения задачи аппроксимации

 

В соответствии с заданием на курсовую работу, необходимо использовать метод частотной выборки и метод наименьших квадратов.

Для проведения расчетов импульсных было принято решение использовать пакет математического моделирования MathCad 11 Professional фирмы MathSoft Inc. Данный пакет обладает необходимой вычислительной мощностью, содержит значительный набор математических функций и методов, а также предлагает дружественный интерфейс пользователя. Согласно методике, описанной во второй главе, были сформулированы необходимые вычислительные уравнения. Результаты их решения по методу частотной выборки с количеством отсчетов равным 11, 19, 33 представлены в таблице 1.

 

Таблица 1 - Решение по методу частотной выборки

i	N=11	N=19	N=33
	h(i)	h(i)	h(i)
0	-0.025	-0.014	7.345e-4
1	-0.063	0.025	5.882e-3
2	-8.189e-3	0.021	-4.457e-3
3	0.273	-0.025	-2.086e-3
4	0.018	-1.154e-3	8.274e-4
5	0.61	-0.084	-5.247e-3
6	0.018	-0.035	-6.28e-3
7	0.273	0.283	-5.3e-3
8	-8.189e-3	0.024	0.03
9	-0.063	0.612	0.02
10	-0.025	0.024	-0.025
11		0.283	-8.947e-4
12		-0.035	-0.089
13		-0.084	-0.034
14		-1.154e-3	0.28
15		-0.025	0.024
16		0.021	0.621
17		0.025	0.024
18		-0.014	0.28
19			-0.034
20			-0.089
21			-8.947e-4
22			-0.025
23			0.02
24			0.03
25			-5.3e-3
26			-6.28e-3
27			-5.247e-3
28			8.274e-4
29			-2.086e-3
30			-4.457e-3
31			5.882e-3
32			7.345e-4

 

Необходимо отметить, что отсчеты импульсной характеристики h(i) симметричны:

 

 для  (23)

 

Результаты вычисления отсчетов импульсной характеристики по методу наименьших квадратов представлены в таблице 2.

 

Таблица 2 - Решение по методу наименьших квадратов

i	N=11	N=19	N=33
	h(i)	h(i)	h(i)
0	-2.033e-3	-5.807e-3	-2.304e-3
1	-0.09	0.032	3.808e-3
2	-0.034	0.022	-3.432e-4
3	0.281	-0.025	-3.718e-4
4	0.024	-2.033e-3	1.332e-3
5	0.31	-0.09	-7.085e-3
6	0.024	-0.034	-8.398e-3
7	0.281	0.281	-5.807e-3
8	-0.034	0.024	0.032
9	-0.09	0.31	0.022
10	-2.033e-3	0.024	-0.025
11		0.281	-2.033e-3
12		-0.034	-0.09
13		-0.09	-0.034
14		-2.033e-3	0.281
15		-0.025	0.024
16		0.022	0.31
17		0.032	0.024
18		-5.807e-3	0.281
19			-0.034
20			-0.09
21			-2.033e-3
22			-0.025
23			0.022
24			0.032
25			-5.807e-3
26			-8.398e-3
27			-7.085e-3
28			1.332e-3
29			-3.718e-4
30			-3.432e-4
31			3.808e-3
32			-2.304e-3

 

КОНТРОЛЬНЫЙ РАСЧЕТ АЧХ и ФЧХ

 

Отсчеты амплитудно-частотной характеристики, приведенные в таблице 3, взяты в точках

аппроксимация выборка фильтр mathcad

(25)

Таблица. 3 - Значения реальной АЧХ рассчитанной по методу частотной выборки и ее отклонение от идеальной

W	B(w)	N=11		N=19		N=33
		A(w)	|B(w)-A(w)|	A(w)	|B(w)-A(w)|	A(w)	|B(w)-A(w)|
0	1	1	0	1	0	1	1.332e-15
0.01	1	1.002	2.307e-3	1	2.735e-4	1	4.884e-4
0.02	1	1.009	8.798e-3	0.999	9.563e-4	0.999	1.017e-3
0.03	1	1.018	0.018	0.998	1.647e-3	1	5.675e-5
0.04	1	1.029	0.029	0.998	1.74e-3	1.002	2.147e-3
0.05	1	1.038	0.038	0.999	5.786e-4	1.003	3.043e-3
0.06	1	1.042	0.042	1.002	2.261e-3	1	2.823e-4
0.07	1	1.04	0.04	1.007	6.551e-3	0.995	4.875e-3
0.08	1	1.027	0.027	1.011	0.011	0.993	7.049e-3
0.09	1	1.003	2.868e-3	1.013	0.013	0.999	9.889e-4
0.1	1	0.965	0.035	1.007	7.413e-3	1.012	0.012
0.11	1	0.913	0.087	0.99	0.01	1.02	0.02
0.12	1	0.847	0.153	0.954	0.046	1.004	4.346e-3
0.13	1	0.768	0.232	0.895	0.105	0.949	0.051
0.14	0.857	0.678	0.179	0.81	0.047	0.849	7.662e-3
0.15	0.714	0.581	0.134	0.701	0.013	0.715	6.535e-4
0.16	0.571	0.479	0.093	0.573	1.904e-3	0.564	7.167e-3
0.17	0.429	0.376	0.052	0.435	6.359e-3	0.416	0.013
0.18	0.286	0.277	8.631e-3	0.298	0.012	0.282	3.613e-3
0.19	0.143	0.185	0.042	0.174	0.031	0.167	0.025
0.2	0	0.104	0.104	0.073	0.073	0.075	0.075
0.21	0	0.037	0.037	2.822e-3	2.822e-3	9.83e-3	9.83e-3
0.22	0	0.014	0.014	0.036	0.036	0.023	0.023
0.23	0	0.048	0.048	0.048	0.048	0.025	0.025
0.24	0	0.064	0.064	0.04	0.04	5.729e-3	5.729e-3
0.25	0	0.063	0.063	0.022	0.022	0.015	0.015
0.26	0	0.044	0.044	4.473e-3	4.473e-3	0.021	0.021
0.27	0	0.011	0.011	7.127e-3	7.127e-3	6.506e-3	6.506e-3
0.28	0	0.034	0.034	0.012	0.012	0.018	0.018
0.29	0	0.09	0.09	0.013	0.013	0.031	0.031
0.3	0	0.154	0.154	0.019	0.019	0.013	0.013
0.31	0	0.223	0.223	0.041	0.041	0.042	0.042
0.32	0.111	0.294	0.183	0.087	0.024	0.126	0.015
0.33	0.222	0.367	0.144	0.163	0.06	0.225	2.73e-3
0.34	0.333	0.438	0.105	0.267	0.066	0.329	4.56e-3
0.35	0.444	0.507	0.063	0.395	0.05	0.436	8.099e-3
0.36	0.556	0.573	0.017	0.533	0.022	0.552	3.835e-3
0.37	0.667	0.635	0.032	0.67	3.295e-3	0.675	8.554e-3
0.38	0.778	0.693	0.084	0.791	0.013	0.797	0.02
0.39	0.889	0.748	0.141	0.886	2.641e-3	0.901	0.012
0.4	1	0.798	0.202	0.951	0.049	0.97	0.03
0.41	1	0.844	0.156	0.987	0.013	1.001	8.215e-4
0.42	1	0.886	0.114	1	3.325e-4	1.003	3.232e-3
0.43	1	0.924	0.076	0.998	1.952e-3	0.995	4.97e-3
0.44	1	0.958	0.042	0.991	8.529e-3	0.991	8.842e-3
0.45	1	0.988	0.012	0.987	0.013	0.996	3.894e-3
0.46	1	1.013	0.013	0.989	0.011	1.004	4.425e-3
0.47	1	1.033	0.033	0.996	3.664e-3	1.008	7.984e-3
0.48	1	1.047	0.047	1.007	6.526e-3	1.004	3.752e-3
0.49	1	1.056	0.056	1.015	0.015	0.996	3.904e-3
0.5	1	1.059	0.059	1.018	0.018	0.992	7.628e-3

 

Таблица. 4 - Значения реальной АЧХ рассчитанной по методу наименьших квадратов и ее отклонение от идеальной

W	B(w)	N=11		N=19		N=33
		A(w)	|B(w)-A(w)|	A(w)	|B(w)-A(w)|	A(w)	|B(w)-A(w)|
0	1	0.978	0.022	1.024	0.024	0.998	2.538e-3
0.01	1	0.981	0.019	1.02	0.02	0.999	1.552e-3
0.02	1	0.988	0.012	1.009	8.589e-3	1.001	6.947e-4
0.03	1	0.999	1.474e-3	0.994	6.246e-3	1.002	2.575e-3
0.04	1	1.011	0.011	0.98	0.02	1.001	2.682e-3
0.05	1	1.024	0.024	0.973	0.027	0.999	7.51e-4
0.06	1	1.035	0.035	0.976	0.024	0.997	2.149e-3
0.07	1	1.04	0.04	0.988	0.012	0.998	4.093e-3
0.08	1	1.038	0.038	1.008	7.821e-3	1.002	3.122e-3
0.09	1	1.026	0.026	1.027	0.027	1.004	1.595e-3
0.1	1	1.002	1.897e-3	1.039	0.039	1.002	8.132e-3
0.11	1	0.965	0.035	1.032	0.032	0.99	0.01
0.12	1	0.914	0.086	0.998	1.567e-3	0.967	3.9e-3
0.13	1	0.85	0.15	0.934	0.066	0.936	0.048
0.14	0.857	0.772	0.085	0.837	0.021	0.901	0.011
0.15	0.714	0.684	0.031	0.712	2.096e-3	0.866	0.026
0.16	0.571	0.587	0.015	0.57	1.791e-3	0.832	0.011
0.17	0.429	0.483	0.055	0.421	7.103e-3	0.8	0.015
0.18	0.286	0.378	0.092	0.281	4.491e-3	0.767	0.027
0.19	0.143	0.274	0.131	0.161	0.018	0.734	6.802e-3
0.2	0	0.176	0.176	0.069	0.069	0.7	0.052
0.21	0	0.086	0.086	9.321e-3	9.321e-3	0.666	5.176e-3
0.22	0	8.924e-3	8.924e-3	0.021	0.021	0.633	0.014
0.23	0	0.053	0.053	0.027	0.027	0.6	0.014
0.24	0	0.097	0.097	0.02	0.02	0.567	4.288e-3
0.25	0	0.121	0.121	8.029e-3	8.029e-3	0.534	7.509e-3
0.26	0	0.126	0.126	1.535e-3	1.535e-3	0.5	0.013
0.27	0	0.11	0.11	5.346e-3	5.346e-3	0.997	6.603e-3
0.28	0	0.075	0.075	4.942e-3	4.942e-3	0.998	7.567e-3
0.29	0	0.023	0.023	6.157e-3	6.157e-3	1.001	0.018
0.3	0	0.044	0.044	0.018	0.018	1.003	6.908e-3
0.31	0	0.124	0.124	0.048	0.048	1.003	0.036
0.32	0.111	0.212	0.101	0.104	7.01e-3	1.001	2.564e-3
0.33	0.222	0.307	0.084	0.189	0.034	0.998	7.256e-3
0.34	0.333	0.403	0.07	0.299	0.034	0.996	6.311e-3
0.35	0.444	0.498	0.054	0.428	0.017	0.997	3.361e-3
0.36	0.556	0.59	0.034	0.564	8.286e-3	1.002	2.151e-4
0.37	0.667	0.675	8.362e-3	0.694	0.028	1.008	5.808e-3
0.38	0.778	0.752	0.026	0.808	0.031	1.01	0.01
0.39	0.889	0.819	0.07	0.897	8.575e-3	0.996	1.556e-3
0.4	1	0.875	0.125	0.958	0.042	0.952	0.034
0.41	1	0.921	0.079	0.993	7.094e-3	0.868	4.957e-3
0.42	1	0.957	0.043	1.006	6.137e-3	0.741	0.013
0.43	1	0.984	0.016	1.006	5.86e-3	0.582	3.599e-3
0.44	1	1.002	2.462e-3	1	8.615e-5	0.413	5.443e-3
0.45	1	1.015	0.015	0.994	5.514e-3	0.259	5.999e-3
0.46	1	1.022	0.022	0.993	7.017e-3	0.136	2.492e-4
0.47	1	1.026	0.026	0.996	4.179e-3	0.052	4.329e-3
0.48	1	1.028	0.028	1.001	1.119e-3	5.176e-3	3.149e-3
0.49	1	1.028	0.028	1.006	5.979e-3	0.014	1.622e-3
0.5	1	1.028	0.028	1.008	7.92e-3	0.014	4.207e-3

 

Графики, представленные ниже представляют идеальные и реальные АЧХ, рассчитанные методами частотной выборки для N=11, 19, 33.

Рис. 2 - Идеальная АЧХ и АЧХ по методу ЧВ для N=11

 

Рис. 3 - Идеальная АЧХ и АЧХ по методу ЧВ для N=19

Рис. 4 - Идеальная АЧХ и АЧХ по методу ЧВ для N=33

 

Рис. 5 - Идеальная АЧХ и АЧХ по методу НК для N=11

Рис. 6 - Идеальная АЧХ и АЧХ по методу НК для N=19

 

Рис. 7 - Идеальная АЧХ и АЧХ по методу НК для N=33

Рассчитанная ФЧХ является линейной и полностью согласуется с теоретически прогнозируемой.  во всех случаях (при различном количестве отсчетов и методов расчета)

 

Рис. 8 - ФЧХ режекторного фильтра при N=33

 

ФЧХ режекторного фильтра при N=19, 33 здесь приводиться не будет в силу ее аналогичности. Меняется только угол наклона ФЧХ. Это связано со изменением времени запаздывания сигнала на выходе относительно входного. При увеличении числа выборок N эта задержка, очевидно, увеличивается.