Плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины

 

Пусть случайная величина  принимает значения  с вероятностями , . Тогда ее функция распределения вероятностей

,                                 (34.1)

где  - функция единичного скачка. Определить плотность вероятности  случайной величины  по ее функции распределения  можно с учетом равенства . Однако при этом возникают математические сложности, связанные с тем, что функция единичного скачка , входящая в (34.1), имеет разрыв первого рода при . Поэтому в точке  не существует производная  функции .

Для преодоления этой сложности вводится -функция. Функцию единичного скачка можно представить через -функцию следующим равенством:

.                            (34.2)

Тогда формально производная

                                  (34.3)

и плотность вероятности дискретной случайной величины определяется из соотношения (34.1) как производная функции :

.                        (34.4)

Функция (34.4) обладает всеми свойствами плотности вероятности. Рассмотрим пример. Пусть дискретная случайная величина  принимает значения  с вероятностями , и пусть , . Тогда вероятность  - того, что случайная величина  примет значение из отрезка  может быть вычислена, исходя из общих свойств плотности по формуле:

  .

Здесь

,

поскольку особая точка - функции, определяемая условием , находится внутри области интегрирования при , а при  особая точка находится вне области интегрирования. Таким образом,

.

Для функции (34.4) также выполняется условие нормировки:

.

Отметим, что в математике запись вида (34.4) считается некорректной (неправильной), а запись (34.2) - корректной. Это обусловлено тем, что -функция при нулевом аргументе , и говорят, что  не существует. С другой стороны, в (34.2) -функция содержится под интегралом. При этом правая часть (34.2) - конечная величина для любого , т.е. интеграл от -функции существует. Несмотря на это в физике, технике и других приложениях теории вероятностей часто используется представление плотности в виде (34.4), которое, во-первых, позволяет получать верные результаты, применяя свойства - функции, и во-вторых, имеет очевидную физическую интерпретацию.  

 

Примеры плотностей и функций распределения вероятностей

 

35.1. Случайная величина  называется равномерно распределенной на отрезке , если ее плотность распределения вероятностей

                                   (35.1)

где  - число, определяемое из условия нормировки:

.                                      (35.2)

Подстановка (35.1) в (35.2) приводит к равенству, решение которого относительно  имеет вид: .

Функция распределения вероятностей  равномерно распределенной случайной величины может быть найдена по формуле (33.5), определяющей  через плотность:

                                      (35.3)

На рис. 35.1 представлены графики функций  и  равномерно распределенной случайной величины.

Рис. 35.1. Графики функции и плотности распределения

 равномерно распределенной случайной величины.

 

35.2. Случайная величина  называется нормальной (или гауссовой), если ее плотность распределения вероятностей:

,                                (35.4)

где ,  - числа, называемые параметрами функции . При  функция  принимает свое максимальное значение: . Параметр  имеет смысл эффективной ширины . Кроме этой геометрической интерпретации параметры ,  имеют и вероятностную трактовку, которая будет рассмотрена в последующем.

Из (35.4) следует выражение для функции распределения вероятностей

, (35.5)

где  - функция Лапласа. На рис. 35.2 представлены графики функций  и  нормальной случайной величины. Для обозначения того, что случайная величина  имеет нормальное распределение с параметрами  и  часто используется запись .                    

Рис. 35.2. Графики плотности и функции распределения

 нормальной случайной величины.

 

35.3. Случайная величина  имеет плотность распределения вероятностей Коши, если

.                                         (35.6)

Этой плотности соответствует функция распределения

.

(35.7)

35.4. Случайная величина  называется распределенной по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

                                         (35.8)

Определим ее функцию распределения вероятностей. При  из (35.8) следует . Если , то

.               (35.9)

35.5. Релеевское распределение вероятностей случайной величины определяется плотностью вида

                                      (35.10)

Этой плотности соответствует функция распределения вероятностей  при  и равная

        (35.11)

при .

35.6. Рассмотрим примеры построения функции распределения и плотности дискретной случайной величины. Пусть случайная величина  - это число успехов в последовательности из  независимых испытаний. Тогда случайная величина  принимает значения ,  с вероятностью , которая определяется формулой Бернулли:

 ,                   (35.12)

где ,  - вероятности успеха и неуспеха в одном опыте. Таким образом, функция распределения вероятностей случайной величины  имеет вид

,                        (35.13)

где  - функция единичного скачка. Отсюда плотность распределения:

,                  (35.14)

где  - дельта-функция.