Нормальный закон распределения непрерывной

случайной величины [6]

       Нормальный закон распределения –  наиболее часто  употребляемый при распределении НСВ. Он задается функцией плотности вероятностей:

f (x) = ·  , 

где а = М (Х) – математическое ожидание, σ =  – СКО нормально распределенной случайной величины Х.

     Значения а и σ – параметры нормального распределения, а величины π и e – универсальные константы:

             π = 3,14159…  ≈ 3,14;    e = 2,71828 …≈ 2,7.

        

     Графиком функции плотности нормального распределения  является кривая Гаусса (рис. 2), которая наглядно показывает, как распределена вероятность между всеми возможными значениями x:

 

Рис. 2. Кривая Гаусса

 

     Кривая Гаусса имеет максимум в точке (а; ) и две точки перегиба с координатами (а ± σ; ).

     Очевидно, что: 1) f (x) > 0; 2) график симметричен относительно вертикальной прямой х = а; 3) если х → ±∞, то   f (x)→0.

 

      Площадь под кривой Гаусса всегда равна 1. При уменьшении рассеивания σ абсциссы точек перегиба приближаются к среднему значению а, кривая Гаусса при этом «сжимается», а ее  максимальное значение увеличивается («выдавливается вверх»). Наоборот, с увеличением показателя рассеивания σ  кривая становится более пологой («расплывается»), а ее максимальное значение уменьшается. В результате площадь под кривой не меняется и всегда равна единице.

     По графику кривой Гаусса легко видеть особенности нормального распределения значений х случайной величины Х.

1. Наиболее вероятным является среднее значение   х = а.

2. Отклонения значений х случайной величины Х в обе стороны от ее среднего значения а равновероятны.

3. Большие отклонения   х от среднего значения а маловероятны.

    Практически все значения х нормально распределенной случайной величины находятся в промежутке (а – 3σ, а + 3σ). Это утверждение называется правилом трех сигм.

 На практике таким особенностям удовлетворяют многие случайные величины. Например, рост мужчин или женщин, спрос на мужскую или женскую обувь, размер мужской или женской одежды, месячная прибыль торгового предприятия в условиях стабильной экономики и т. п.

    Биномиальная случайная величина при большом количестве повторных независимых испытаний n, каждое из которых появляется с одной и той же вероятностью р  (0,15 < р < 0,85), имеет распределение, близкое к нормальному.

 Пример. Непрерывнаяслучайная величина Х имеет математическое ожидание 7 и дисперсию 9. Известно, что она распределена по нормальному закону. Запишите закон ее распределения.

    Решение. Закон распределения непрерывной нормально распределенной случайной величины задается функцией плотности вероятности   f (x) с параметрами, а = 7, σ =  =  = 3:

f (x) = ·  = ·  .

 Вопросы и задачи для самостоятельного решения

Контрольные вопросы

                                        

1. Какая случайная величина называется непрерывной?

2. Как задать закон распределения НСВ?

3.В чем состоит смысл функции плотности распределения вероятностей НСВ?

4. Назовите свойства функции плотности распределения вероятностей.

 5. Как задать нормальный закон распределения непрерывной случайной величины?

 6. Как графически изображается нормальный закон распределения случайной величины?

 7. Изобразите кривую Гаусса и назовите ее свойства. 

 8. Каковы особенности нормального распределения случайной величины?

 9. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами: а = 5, σ = 2. Поясните смысл этих параметров и постройте кривую Гаусса с этими параметрами.

10. Запишите функцию плотности нормально распределенной случайной величины с параметрами: а = 0, σ = 1. Поясните смысл этих параметров и постройте кривую Гаусса с этими параметрами.