Плоскость. Взаимное расположение двух прямых

ПЛОСКОСТЬ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ

 

Стереометрия (от греческого слова «stereos» - пространственный) – это наука, изучающая свойства фигур, не все точки которых принадлежат одной плоскости.

Аксиомы плоскости и следствия из них.

Аксиома 1. Если две точки A и B прямой a принадлежат плоскости α, то каждая точка M этой прямой принадлежит той же плоскости: .

  Аксиома 2. Через три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость α и притом только одну.

Следствия из аксиом 1-2:

1. через прямую и точку вне её можно провести плоскость и притом только одну;

2. через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну;

3. через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну.

Аксиома 3. Если две различные плоскости α и β имеют общую точку M, то они пересекаются по прямой a, проходящей через эту точку.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые.

Могут представиться четыре различных случая взаимного расположения двух прямых a и b в пространстве:

1) a и b имеют две общие точки, в этом случае прямые сливаются;

2) a и b имеют только одну общую точку, в этом случае прямые пересекаются в указанной точке;

3) a и b не имеют общих точек и лежат в одной плоскости, в этом случае прямые параллельны;

4) a и b не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости.

Определение. Две прямые, через которые нельзя провести плоскость, называются скрещивающимися.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна прямая a лежит в плоскости α, а другая прямая b пересекает эту плоскость в точке M, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые являются скрещивающимися.

Угол между двумя скрещивающимися прямыми.

Теорема. Два угла ABC и A₁ B₁ C₁ с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами (BA || B₁ A₁, BC || B₁ C₁) равны.

Определение. Углом между двумя скрещивающимися прямыми a и b с заданными направлениями называется угол, который получается, если из произвольной точки O пространства провести лучи OA и OB, соответственно параллельные данным прямым и одинаково с ними направленные.

Этот угол обозначается . Согласно определению . Величина  не зависит от положения точки O в пространстве. В частном случае  может быть прямым, тогда прямые a и b называются взаимно перпендикулярными.

 

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

 

Возможные случаи.

1) Прямая a и  плоскость α имеют две общие точки. В этом случае согласно аксиоме 1 эта прямая принадлежит плоскости .

2) Прямая a и плоскость α имеют только одну общую точку M. В этом случае прямая пересекает плоскость в точке M, т.е. .

3) Прямая a и плоскость α общих точек не имеют. В этом случае прямая и плоскость называются параллельными.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

 

ПЛОСКОСТЬ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ

 

Стереометрия (от греческого слова «stereos» - пространственный) – это наука, изучающая свойства фигур, не все точки которых принадлежат одной плоскости.