Методика построения эмпирической кривой распределения

Пусть имеется партия из  деталей, обработанных по методу автоматического получения размеров, которую будем называть объемом выборки. Размеры деталей в этой партии являются случайными величинами. Эмпирическая кривая распределения отражает закон распределения размеров деталей в пределах поля их рассеяния. Эта кривая строится в следующей последовательности:

1. Производится измерение деталей. Для этого используется прибор с ценой деления шкалы .

Ценой деления называется разность значений измеряемой величины между двумя соседними отметками шкалы. Рекомендуется выбирать цену деления, а следовательно, и прибор для измерения, в зависимости от объема выборки по следующему правилу

       (13.1)

где  – допуск на размер.

 

2. Из совокупности  размеров определяются наибольший  и наименьший  размеры, а также их разность, которая называется размахом выборки

                                                .                                                  (13.2)

3. Размах выборки разбивают на  равных интервала. Величину интервала определяют по формуле

                                              .                                           (13.3)

Полученное значение округляют до величины кратной   по правилу

                                             g = 1,2,3,….                                (13.4)

Таким образом,  должен превышать цену деления, по крайней мере, в два раза.

 

4. За начало первого интервала принимают величину

                                                                                         (13.5)

Для каждого последующего под номером

                                                                                      (13.6)                                    

Конец первого интервала определяется значением

                                                                                               (13.7)                                                                             

Для каждого последующего

                                                                                          (13.8)                                                                             

Очевидно, что

                                                                                               (13.9)                                                                             

Для последнего интервала имеем , где  - номер последнего интервала.

Таким образом, первый интервал содержит  Последний – .

 

5. Определяют количество деталей, размеры которых попадают в тот или иной интервал . Это количество обозначают и называют частотою. Отношение  называется частостью.

6. Полученные результаты оформляют в виде таблицы 13.1 распределения размеров. В качестве примера заполнения таблицы примем: количество деталей в партии  = 120, количество интервалов =10, количество частот по интервалам:

Таблица 13.1

 

Распределение размеров

№ интервала	Границы интервала, мм		Регистрация частот	Частота,	Частость,
1			ХХ	2	0,0166
2			Х	1	0,0083
3			ХХХХХ	5	0,0416
4			ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ	20	0,1666
5			ХХХХХХХХХХХХХХХХХХ	18	0,1500
6			ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ	28	0,2333
7			ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ	27	0,2250
8			ХХХХХХХХХХХХХ	13	0,1083
9			ХХХХ	4	0,0333
10			ХХ	2	0,0166
Итого:				120	0,9996

 

 

 =2; =1; =5; =20; =18; =28; =27; =13;  =4;  =2.                                                                                            

 

Из таблицы следует, что

                                         ; .                               (13.10)                                                                                       

Очевидно, что  можно рассматривать как величину, близкую к вероятности попадания размера детали из партии в тот или иной интервал.

       

7. По данным таблицы 13.1 строят ступенчатый график, состоящий из прямоугольников шириною , высотою  или . Этот график называется гистограммой распределения. Если соединить середину верхней стороны каждого прямоугольника отрезками прямых линий, то получим ломаную линию, которая называется эмпирической кривой распределения или полигоном (рис. 13.1).

Графическая интерпретация полученных результатов позволяет сделать вывод, что размеры деталей группируются около некоторой центральной величины (центра группирования), причем, чем больше отличие между этой величиной и выделенным интервалом, тем меньше частота регистрации размеров в данном интервале. Эта центральная величина называется средним арифметическим значением случайных величин и определяется по следующей формуле

                           ;                           (13.11)                                                                             

где,  - значение случайной величины в середине - го интервала.

Другой характеристикой кривой распределения случайных величин, является среднее квадратическое отклонение этихвеличин от их среднего арифметического значения, которое определяется по формуле

                                     .                                        (13.12)

     

Если постепенно увеличивать размер партии, то ломаная линия будет приближаться к холмообразной кривой, представлена на рис.13.7. Тогда частота и частность  на каждом интервале будут стремиться к некоторым значениям  и  на данном интервале, которые в дальнейшем будем называть теоретической частотой и теоретической частостью.