Невырожденные линейные операторы

 

Определение. Линейный оператор  называется невырожденным, если он любой ненулевой вектор переводит в ненулевой.

Теорема 4.4. Для того чтобы линейный оператор  был невырожденным необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства  была невырожденной

►Пусть А – матрица линейного оператора  в некотором базисе, Х, как обычно, координатный столбец вектора  в том же базисе. Тогда

{ f – невырожденный} {однородная система линейных уравнений AX = O имеет единственное тривиальное решение}  { }.

Так как определители подобных матриц совпадают, то утверждение справедливо и для любого базиса. ◄

Теорема 4.5. Для того чтобы линейный оператор  был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным.

►Пусть  – линейный оператор, А – его матрица в некотором базисе, X и Y – координатные столбцы в том же базисе векторов  и  соответственно. Тогда

{  невырожденный}  { система  имеет единственное решение}  {  единственный , что }  

 {  единственный , что }  { f – взаимно однозначный}.◄

Теорема 4.6. Произведение невырожденных линейных операторов – невырожденный линейный оператор.

►Пусть  и  – невырожденные линейные операторы. Тогда

{ }  { }  { }.

Tаким образом, gf – невырожденный линейный оператор.◄

Обратный линейный оператор

 

Теорема 4.7. Для любого невырожденного линейногооператора  существует единственный обратный оператор , который также является линейным. При этом, если А – матрица оператора   в некотором базисе, то матрица оператора  в том же базисе совпадает с матрицей .

► Единственность. Пусть некоторый оператор  имеет два разных обратных: и . Тогда

 

– противоречие.

Существование. Пусть А – матрица оператора  в некотором базисе. Тогда, по теореме 4.4 , значит, существует . Обозначим – тот линейный оператор, матрица которого в выбранном базисесовпадаетс .

Так как , и так как произведению матриц соответствует произведение операторов, то , и, таким образом, .◄

Замечание. М ожно доказать, что любой взаимно однозначный линейный оператор  имеет единственный обратный, который тоже является линейным.

Изоморфизм линейных пространств

 

Определение.Изоморфизмом линейных пространств называется взаимно однозначный линейный оператор. Если существует изоморфизм , то линейные пространства  и  называются изоморфными. Изоморфизм обозначается так: .

Так как изоморфизм – взаимно однозначное отображение, то изоморфные объекты содержат одинаковое количество элементов. Кроме того, в силу линейности, действия, производимые над элементами пространства , одновременно производятся и над элементами пространства . Поэтому в математике изоморфные объекты не различаются.

Свойства изоморфизма

 

1.  – рефлективность (изоморфизм осуществляет тождественное отображение).

2.  – симметричность (если первый изоморфизм осуществляет с помощью отображения f, то второй – с помощью ).

3. { , }  – транзитивность (если первый изоморфизм осуществляется с помощью отображения , второй – , то третий изоморфизм осуществляется с помощью отображения ).

Строгого доказательства этих свойств мы не приводим.

Теорема 4.8. Изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности.

►Пусть  и пусть  – изоморфизм. Выберем в  какой-либо базис

                                                                                   (4.27)

и покажем, что система

                                            –                           (4.28)

базис пространства . Действительно, в силу взаимной однозначности f,  единственный  такой, что . Тогда, если , то . Значит, (4.28) – система образующих в .

Докажем теперь линейную независимость (4.28).

 [линейность f ]

 [взаимная однозначность f ]  [линейная независимость (4.27)]  {(4.28) – линейно независима}.

Таким образом, (4.28) – базис в , а значит, . ◄

Теорема 4.9. Все n -мерные линейные пространства над полем Р изоморфны между собой, т. е. существует единственное с точностью до изоморфизма n- мерное линейное пространство над полем Р.

►а) Докажем, что .

Выберем в  какой-либо базис . Тогда  : . Обозначим . Очевидно, отображение  – взаимно однозначное. Кроме того, ,  :

 :

Поэтому f – линейный оператор, а значит, и изоморфизм. Итак, .

б) Пусть теперь  и  – n- мерные линейные пространства над одним и тем же полем Р. Тогда

{  и }  [симметричность]  {  и  и }  [транзитивность]  { }.◄

Таким образом, мы показали, что с точки зрения математики единственным n- мерным линейным пространством над полем Р является .