Канонический вид квадратичной формы

Мы уже говорили о том, что в каждом базисе линейного пространства  квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, который называется видом данной квадратичной формы.

Каноническим видом квадратичной формы называется такой ее вид, в котором коэффициенты при произведениях разноименных переменных равны 0, т. е.  при .

Нормальным видом действительной квадратичной формы называется такой ее канонический вид, в котором отличные от нуля коэффициенты при квадратах равны 1 или –1. Все отличные от нуля коэффициенты при квадратах нормального вида  комплексной квадратичной формы равны 1.

Теорема 5.6. Для любой квадратичной формы, заданной на линейном пространстве  в  существует базис, в котором эта квадратичная форма имеет канонический вид, и существует базис, в котором она имеет нормальный вид.

Или другая формулировка этой же теоремы:

Для любой квадратичной формы от n переменных существует линейное невырожденное преобразование переменных, приводящее ее к каноническому виду, и существует линейное невырожденное преобразование переменных, приводящее ее к нормальному виду.

Теорему 5.6 мы докажем позже, а сейчас на примере покажем, как привести квадратичную форму к каноническому виду методом, который называется методом Лагранжа или выделения полных квадратов. Он заключается в следующем: выбираем переменную, коэффициент при квадрате которой отличен от 0, и выделяем полный квадрат, включающий в себя все слагаемые с этой переменной. С этой целью записываем перед скобкой число, обратное выбранному коэффициенту, а в скобках – половину производной по выбранной переменной. За скобками остается квадратичная форма, количество переменных которой уже на единицу меньше, с которой поступаем также. После конечного числа шагов получаем канонический вид.

Пример. ▼

где . Матрица этого линейного преобразования запишется так:

.

Как видим, она невырождена, значит, и преобразование переменных является невырожденным. Вводя обозначения

,

получаем нормальный вид квадратичной формы: .▲

Замечания. 1. На самом деле при применении метода Лагранжа получаем не прямое преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, а обратное, т. е. преобразование, которое выражает не старые переменные через новые, а наоборот.

2. Если все коэффициенты при квадратах исходной квадратичной формы равны нулю, а отличен от нуля, например, коэффициент при произведении , применим вначале следующее преобразование:  Матрица этого преобразования выглядит так:

.

Очевидно, она невырождена, и поэтому, соответствующее преобразование переменных также будет невырожденным.

Заметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно, тем не менее, имеет место

Теорема 5. 7 (закон инерции). Все канонические виды одной квадратичной формы на действительном линейном пространстве имеют одинаковое число положительных коэффициентов и одинаковое число отрицательных коэффициентов. Нормальный вид квадратичной формы определяется однозначно с точностью до порядка следования коэффициентов.

►Доказательство достаточно провести для нормального вида.

Пусть в базисе  линейного пространства  квадратичная форма  имеет вид

          ,                (5.21)

а в базисе  – вид

    .         (5.22)

Так как , то достаточно показать, что . Предположим, что это не так. Пусть, например, . Обозначим

, .

Так как  а , то сумма  не прямая, поэтому , следовательно, . Так как , то из (5.21) видно, что  Но так как , то из (5.22) видно, видно, что Итак, мы пришли к противоречию. Таким образом, . Аналогично доказывается, что , значит, .◄

Замечание. Для квадратичных форм на комплексном линейном пространстве нормальный вид, очевидно, определяется однозначно, так как количество отличных от нуля коэффициентов совпадает с рангом квадратичной формы.