Ортогональные и унитарные матрицы

ГЛАВА 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. Некоторые сведения о матрицах

Ортогональные и унитарные матрицы

 

Определение. Комплексная квадратная матрица А называется унитарной, если . Множество всех унитарных матриц n -го порядка будем обозначать .

Следствия. 1. Модуль определителя унитарной матрицы равен 1.

►Из определения следует: , значит, .◄

2. .

В силу равносильности любое из этих равенств может служить определением унитарной матрицы.

Определение. Действительная квадратная матрица  называется ортогональной, если . Множество всех ортогональных матриц n -го порядка будем обозначать .

Следствия. 1. .

2. Определитель ортогональной матрицы равен 1 или –1.

3. .

Каждое из этих равенств опять же может служить определением ортогональной матрицы.

 

Свойства ортогональных и унитарных матриц

 

1º. .            1'. .

2º. .                    2'. .     

3º. .                                            3'. .

►Докажем, например, первое свойство для унитарных матриц (для ортогональных доказательство отличается только тем, что отсутствует комплексное сопряжение).

.◄

Теорема 7.1 о матрице перехода. Пусть в евклидовом пространстве  заданы: ортонормированный базис

                                                                                     (7.1)

и ещё какой-либо базис

                                             .                                 (7.2)

Для того чтобы базис (7.2) был ортонормированным, необходимо и достаточно, чтобы матрица Т перехода от (7.1) к (7.2) была унитарной для комплексного евклидова пространства, и ортогональной для действительного.

►Доказательство проводим для комплексного случая. Если  и  – матрицы Грама базисов (7.1) и (7.2) соответственно, то  и . Тогда

{(7.2) – ортонормированный} .◄

 

Некоторые свойства эрмитовых и симметричных матриц

 

Вспомним, что комплексная квадратная матрица А называется эрмитовой, если , а действительная квадратная матрица А – симметричной, если . Будем обозначать – множество всех эрмитовых матриц n -го порядка, а  – множество всех действительных симметричных матриц n -го порядка. Очевидно, . Запишем некоторые свойства этих матриц, которые вы можете легко доказать в качестве упражнения.

 

1º. . 1'. .

2º .          2'. .

3º. .                                       3'. .

 

Свойства сопряженных операторов

1º. , т. е. тождественный оператор сопряжен самому себе.

►Очевидным образом вытекает из определения.◄

2º. .

►  : . Утверждение вытекает из леммы 7.1. ◄

3º. .

►  (объясните каждый шаг цепочки).◄

4º. Если оператор  имеет обратный и имеет сопряженный, то  также имеет сопряженный, причем .

► . Аналогично доказывается, что , значит,  и есть .◄

5º. .

Это свойство вы можете легко доказать самостоятельно.

Если обозначить

     , ,         (7.16)

            ,            (7.17)

то (7.15) запишется в виде

.

Сравнивая (7.13) и (7.16), (7.10) и (7.17), замечаем, что

, .

Завершает доказательство цепочка рассуждений:

{  – центр симметрии Ф}  {  – центр симметрии Ф}

{ }  { }.◄

Вывод. Если с помощью параллельного переноса поместить начало координат в центр симметрии кривой второго порядка, то при этом: квадратичная часть ее уравнения не изменится; слагаемые первой степени пропадут; свободный член нового уравнения можно найти по формуле .

Точно так же доказываются аналогичные утверждения и для поверхностей второго порядка.

Пример. Определить видповерхности второго порядка

,

приведя ее уравнение к каноническому виду, и нарисовать эту поверхность.

▼1. Проверяем существование центра симметрии. Для этого вычисляем частные производные и составляем систему вида (7.14):

Решая эту систему, находим . С помощью параллельного переноса помещаем начало координат в центр поверхности . При этом квадратичная часть уравнения не изменится, слагаемые первой степени пропадут, свободный член .

2. Приводим к каноническому виду квадратичную часть.

; ,

; .

 

                                      Рис.7.2

 

Записываем каноническое уравнение поверхности:

или

                                                                                  

и видим, что это однополостный гиперболоид.

Находим базис, состоящий из собственных векторов, используя алгебраические дополнения:

; ; .

Заметим, что нормировать базисные векторы нет необходимости. Нормированные векторы были бы нам нужны для записи ортогонального преобразования переменных, приводящего квадратичную часть к каноническому виду. Но в данном примере это преобразование не используется. Остается поверхность нарисовать (рис. 7.2). ▲

Изометрии

Определение. Линейный оператор f евклидова пространства Е в себя называется изометрией, если он сохраняет скалярное произведение, т. е. если

                                                                   (7.18)

Изометрии в комплексном евклидовом пространстве называются унитарными операторами, а в действительном – ортогональными.

Теорема 7.10. Если l – собственное значение изометрии, то |l|=1.

►Пусть  – собственный вектор изометрии , l – его собственное значение. Положим . Тогда: (7.18) .◄

Замечание. Собственные значения ортогонального оператора равны 1 или –1. Ортогональный оператор в пространстве четной размерности может и не иметь собственных значений, но в пространстве нечетной размерности имеет хотя бы одно.

Теорема 7.11. Для того чтобы линейный оператор  был изометрией, необходимо и достаточно, чтобы он сохранял длины векторов.

► Необходимость очевидна.

Достаточность (доказываем для комплексного случая). Пусть f сохраняет длины векторов, т. е. . Тогда  :

                            .                         (7.19)

Так как (7.19) справедливо для всех комплексных l, то при l = 1 получаем . Если же , то (7.19) принимает вид , и, таким образом, утверждение доказано.◄

Следствие. Ортогональный оператор сохраняет углы между векторами.

Теорема 7.12. Изометрия  любой ортонормированный базис пространства  переводит в ортонормированный базис. Обратно, если линейный оператор  некоторый ортонормированный базис пространства  переводит в ортонормированный базис, то f – изометрия.

►Первое утверждение, очевидно, справедливо. Действительно, согласно определению, ортонормированный базис переходит в ортонормированную систему из n векторов, которая в силу теоремы 6.4 линейно независима и поэтому в n -мерном линейном пространстве является базисом.

Обратно. Пусть линейный оператор  некоторый ортонормированный базис

                                                                                    (7.20)

пространства  переводит в ортонормированный базис

                                        ,                              (7.21)

и пусть  и  – произвольные векторы пространства . Тогда каждый из векторов  и  можно разложить по базису (7.20):  Так как базисы (7.20) и (7.21) ортонормированны, то . Значит,

и, таким образом, f – изометрия.◄

Теорема 7.13. Для того чтобы линейный оператор  был изометрией, необходимо и достаточно, чтобы .

►На основании теоремы 7.2 любой линейный оператор  имеет сопряженный. Тогда:

{ f – изометрия}

                                      [лемма 7.1]  { }.                 (7.22)

Если А – матрица оператора  в некотором ортонормированном базисе пространства , то  – матрица оператора  в том же базисе, и из (7.22) для изометрии получаем

                                           .                                           (7.23)

Из (7.23) вытекает, во-первых, что матрица изометрии невырождена, значит, любая изометрия  – невырожденный линейный оператор, причем . Во-вторых, для того чтобы линейный оператор f комплексного евклидова пространства  в себя был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства  была унитарной. Для того чтобы линейный оператор f действительного евклидова пространства  в себя был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства  была ортогональной.◄

Ортогональные операторы

Виду пары квадратичных форм

 

Теорема 7.15. Пусть  и  – квадратичные формы на действительном линейном пространстве , причем одна из них положительно определена. Тогда в  существует базис, в котором обе квадратичные формы имеют канонический вид.

►Пусть, например, квадратичная форма  положительно определена. Тогда соответствующая ей симметричная билинейная форма  тоже положительно определена. С помощью этой билинейной формы можно задать скалярное произведение на линейном пространстве  и после этого оно превращается в евклидово пространство . Согласно теореме 7.7, в  существует ортонормированный базис

                                 ,                                        (7.27)

в котором форма  имеет канонический вид. Так как базис (7.27) ортонормированный, то . Значит, квадратичная форма  в базисе (7.27) имеет единичную матрицу, и поэтому форма  в этом базисе имеет нормальный вид. ◄

 

К каноническому виду

 

Пусть  и  – квадратичные формы на действительном линейном пространстве , причем  положительно определена. Выберем в  какой-либо базис

                                    ,                                           (7.28)

и обозначим  и  матрицы форм  и  соответственно в этом базисе. В пространстве  скалярное произведение зададим с помощью симметричной билинейной формы, соответствующей квадратичной форме . Это значит, линейное пространство превращается в евклидово , а матрица Грама базиса (7.28) совпадает с . Как и во всяком евклидовом пространстве, в  существует ортонормированный базис

                                     .                                        (7.29)

Если  – матрица Грама базиса (7.28), а  – матрица квадратичной формы  в этом базисе, то , . В силу ортонормированности базиса (7.29) , значит, , откуда получаем, что

.

Согласно теореме 7.7, в  существует ортонормированный базис, в котором квадратичная форма  имеет канонический вид. Чтобы найти этот канонический вид, следует решить характеристическое уравнение

                                                                                    (7.30)

а чтобы найти векторы искомого базиса, следует для каждого собственного значения  решить систему линейных уравнений

                                       ,                                    (7.31)

где  – координатный столбец искомого собственного вектора в базисе (7.29). Но

{(7.30)}  { }  { }

 { },

откуда вытекает, что (7.30) равносильно уравнению

                                        .                                     (7.32)

Система же (7.31) преобразуется так: {(7.31)} { }  

 { } { }. Если  – координатный столбец искомого собственного вектора в базисе (7.28), то , значит, система (7.31) равносильна следующей:

                                       .                                      (7.33)

Таким образом, диагональные элементы матрицы  – это корни  уравнения (7.32), а векторы искомого базиса – это решения системы линейных уравнений (7.33) для каждого из найденных значений .

Из вышесказанного получаем следующее правило одновременного приведения пары квадратичных форм к каноническому виду:

1. Выписываем матрицы квадратичных форм и определяем, какая из них положительно определена. Матрицу положительно определенной квадратичной формы обозначаем , а оставшуюся – .

2. Составляем уравнение (7.32), которое также называется характеристическим, и находим его корни . Записываем канонический вид каждой из квадратичных форм:  будет иметь нормальный вид, а коэффициенты канонического вида формы  совпадают с найденными собственными значениями .

3. Находим ортогональный базис, решая систему линейных уравнений (7.33) при каждом из найденных собственных значений .

4. Нормируем каждый вектор (скалярное произведение задано формой !).

5. Составляем матрицу перехода от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов и по ней записываем линейное невырожденное преобразование переменных .

Пример. Приведем одновременно к каноническому виду квадратичные формы

 и .

▼1. Записываем матрицы обеих квадратичных форм:

, .

Исследуем на знакоопределенность форму  по критерию Сильвестра: . Итак, положительно определена форма . Значит,

, .

2.

.

Записываем характеристическое уравнение  и находим его корни:

Канонический вид квадратичной формы , а формы .

3.  

:

4.

5. ;

                                                                                                                     ▲   

ГЛАВА 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. Некоторые сведения о матрицах

Ортогональные и унитарные матрицы

 

Определение. Комплексная квадратная матрица А называется унитарной, если . Множество всех унитарных матриц n -го порядка будем обозначать .

Следствия. 1. Модуль определителя унитарной матрицы равен 1.

►Из определения следует: , значит, .◄

2. .

В силу равносильности любое из этих равенств может служить определением унитарной матрицы.

Определение. Действительная квадратная матрица  называется ортогональной, если . Множество всех ортогональных матриц n -го порядка будем обозначать .

Следствия. 1. .

2. Определитель ортогональной матрицы равен 1 или –1.

3. .

Каждое из этих равенств опять же может служить определением ортогональной матрицы.