Построение таблиц характеров.

Неприводимые представления и характеры циклических точечных групп можно построить непосредственно, руководствуясь следующими правилами:

1. Для групп C_n при четном n существует представление A и B (одномерные) и множество двумерных представлений E_k с k=1,2,..., (n/2)-1.

2. Если n нечетное, то представления B не существует, а индекс k для E_k принимает значения k=1,2,..., (n-1)/2.

Характеры для пар вырожденных представлений E_k равны e^{(2 p i/n) jk}  и e^{(-2 p i/n) jk}  , где k - индекс E_k, а j определяется элементом симметрии C_n ^j       .

3. Характеры представлении A и B можно получить как особые случаи E_k с k=0 или (n/2), соответственно. Т.о. представление A - полносимметричное с характерами c =1. Поскольку e^{(2 p i/n) 0}  = e⁰=1. Для B имеем

e^{(2 p i/n) jn/2}  = e^{j p i}  = cos(jp) - isin(jp) = cos(jp), т.к. sin(jp)=0 и т.о.

  c (B)= cos(jp) = ± 1 (+1 при четных j и -1 при нечетных j).

 

Например, для группы C₃ имеем представления A и E₁ или просто E и таблицу характеров.

С3	E	C3	C3 2
A	1	1	1
E

e^4pi/3= e^-2pi/3; e^-4pi/3= e^2pi/3; т.к. 4p/3=240^о=-2p/3=-120^о.

Действительное представление получается при использовании формулы Ейлера:

 ₊ ^- .

Таким образом для C₃ получим.

С3	E	C3	C3 2
A	1	1	1
Eкомпл.
G1+G2	2	2cos(2p/3)	2cos(2p/3)
Eдействит.	2	-1	-1

 

Рассмотрим группу C₆:

В соответствии с правилами 1-3 имеем представления A, B, E₁ и E₂ и обозначая e^2pi/6=e, а комплексносопряженную как e^* получим следующую таблицу характеров:

   

С6	E	C6	C6 2       =C3	C63     =C2	C64     =C32	C65
A	1	1	1	1	1	1
B	1	-1	1	-1	1	-1
E1
E2

Учитывая, что e^*=cos(60^o)+isin(60^o) и 

e²=cos(120^o)-isin(120^o)=-cos(60^o)-isin(60^o)=-(cos(60^o)+isin(60^o))=-e^* и т.д. таблицу характеров можно записать в виде:

С6	E	C6	C3	C2	C3 2	C65
A	1	1	1	1	1	1
B	1	-1	1	-1	1	-1
E1
E2

В действительном виде таблица характеров запишется как:

С6	E	2C6	2C3	C2
A	1	1	1	1
B	1	-1	1	-1
E1	2	1	-1	-2
E2	2	-1	-1	2

 

Таблицы характеров остальных подгрупп можно построить из прямого или полупрямого произведения подгрупп. Рассмотрим процедуру построения, например, для группы D_2h=D₂´C_s. На первом этапе используя операции симметрии подгрупп находим операции симметрии группы и это отобразим в виде таблицы (1)

	D2
Cs	E	C2z	C2y	C2x
E	E	C2z	C2y	C2x
sxy	sxy	i	syz	sxz

 

(1)

 

 

Т. о. для группы D_2h имеем 8 операций симметрии. Можно, показать, что каждая из них образует отдельный класс.

На втором этапе зная представления подгрупп получим таблицу произведений неприводимых представлений подгрупп (2):

	D2
Cs	A1	B1	B2	B3
A¢	A¢A1	A¢B1	A¢B2	A¢B3
A²	A²A1	A²B1	A²B2	A²B3

(2)

 

 

Cs	E	sxy
A¢	1	1
A²	1	-1

В таблице (2) получено 8 представлений группы. Число представлений равно числу классов группы. Следовательно все эти представления - неприводимые. Для нахождения характеров неприводимых представлений группы нужно знать таблицы характеров неприводимых представлений подгрупп.

D2	E	C2z	C2y	C2x
A1	1	1	1	1
B1	1	1	-1	-1
B2	1	-1	1	-1
B3	1	-1	-1	1

На третьем этапе для каждой пары из табл. 2 найдем произведения характеров соответствующих неприводимых представлений подгрупп и результаты представим в виде 8-ми таблиц похожих по форме на табл. 1.

		D2						D2
Cs		E	C2z	C2y	C2x		Cs	E	C2z	C2y	C2x
		A1				(3)		A1				(7)
	A¢	1	1	1	1		A²	1	1	1	1
E	1	1	1	1	1		1	1	1	1	1
sxy	1	1	1	1	1		-1	-1	-1	-1	-1

		D2						D2
Cs		E	C2z	C2y	C2x		Cs	E	C2z	C2y	C2x
		B1				(4)		B1				(8)
	A¢	1	1	-1	-1		A²	1	1	-1	-1
E	1	1	1	-1	-1		1	1	1	-1	-1
sxy	1	1	1	-1	-1		-1	-1	-1	1	1

		D2						D2
Cs		E	C2z	C2y	C2x		Cs	E	C2z	C2y	C2x
		B2				(5)		B2				(9)
	A¢	1	-1	1	-1		A²	1	-1	1	-1
E	1	1	-1	1	-1		1	1	-1	1	-1
sxy	1	1	-1	1	-1		-1	-1	1	-1	1

		D2						D2
Cs		E	C2z	C2y	C2x		Cs	E	C2z	C2y	C2x
		B3				(6)		B3				(10)
	A¢	1	-1	-1	1		A²	1	-1	-1	1
E	1	1	-1	-1	1		1	1	-1	-1	1
sxy	1	1	-1	-1	1		-1	-1	1	1	-1

Значения характеров в ячейках табл. 3-10 соответствуют элементам симметрии размещенным в аналогичных ячейках табл. 1.

Таблицы 3-10 можно объединить в одну таблицу характеров группы D_2h. При этом для обозначения произведений представлений в табл. 2 используются определенные правила, которые будут разобраны нами на следующих занятиях.

Таблица характеров для группы D_2h.

D2h	E	C2z	C2y	C2x	sxy	i	syz	sxz
Ag	1	1	1	1	1	1	1	1
B1g	1	1	-1	-1	1	1	-1	-1
B2u	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1
B3u	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1
Au	1	1	1	1	-1	-1	-1	-1
B1u	1	1	-1	-1	-1	-1	1	1
B2g	1	-1	1	-1	-1	1	-1	1
B3g	1	-1	-1	1	-1	1	1	-1

В случае полупрямого произведения процедура построения таблицы характеров несколько усложняется. Рассмотрим группу C_3v=C₃ÙC_s. Найдем операции симметрии группы (табл. 11):

	Cs
C3	E	sv
E	E	sv
C3	C3	sv¢
C32	C32	sv²

 

(11)

 

Если по вертикали записаны элементы симметрии инвариантной подгруппы, то столбцы будут содержать классы группы. Для группы C_3v имеем 3 класса {E, 2C₃, 3s_v }и, следовательно, должно быть 3 неприводимых представления. Составим таблицу произведения неприводимых представлений подгрупп.

	Cs
С3	A¢	A²
A	AA¢	AA²	(12)
E

В табл. 12 есть 6 пар произведений, но в группе С_3v должно быть только три неприводимых представления. При этом нужно учесть, что произведения полносимметричного представления (А) группы C_3v дают всегда неприводимые представления. Т.о. произведения AA¢ и AA² в табл. 12 - два неприводимых представления. Очевидно, 4 оставшихся являются зависимыми.

Получим характеры представлений.

AA¢		Сs			AA²	Сs
С3		E	sv			E	sv
		A¢				A²
	A	1	1		A	1	-1
E	1	1	1	(13)	1	1	-1	(14)
С3	1	1	1		1	1	-1
C32	1	1	1		1	1	-1

 

E(1)A¢		Сs			E(1)A²	Сs
С3		E	sv			E	sv
		A¢				A²
	E(1)	1	1		E(1)	1	-1
E	1	1	1	(15)	1	1	-1	(16)
С3	e	e	e		e	e	-e
C32	e*	e*	e*		e*	e*	-e*

 

E(2)A¢		Сs			E(2)A²	Сs
С3		E	sv			E	sv
		A¢				A²
	E(2)	1	1		E(2)	1	-1
E	1	1	1	(17)	1	1	-1	(18)
С3	e*	e*	e*		e*	e*	-e*
C32	e	e	e		e	e	-e

Для нахождения третьего представления проведем усреднение характеров элементов по классам для каждого из 4-х зависимых представлений. Получим:

	E	2C3	3sv		E	2C3	3sv
E(1)A¢	1	(e+e*)/2	(1+e+e*)/3	E(1)A²	1	(e+e*)/2	-(1+e+e*)/3
	(1	-1/2	0)		(1	-1/2	0)
E(2)A¢	1	(e*+e)/2	(1+e*+e)/3	E(2)A²	1	(e*+e)/2	-(1+e*+e)/3
	(1	-1/2	0)		(1	-1/2	0)
Cумма	2	-1	0	Cумма	2	-1	0

Т.о. получены два совершенно одинаковых представления и это будет в группе C_3v - третье представление. Таблица характеров будет выглядеть следующим образом:

C3v	E	2C3	3sv
A1	1	1	1
A2	1	1	-1
E	2	-1	0

Таблица характеров для группы T_d.

T_d = D₂ ^ C_3v

Элементы симметрии группы T_d.

	C3v
D2	E	2C3	3sv
E	E	2C3	3sd
C2z	C2z	2C3¢	3sd¢
C2y	C2y	2C3²	3S4
C2x	C2x	2C3²¢	3S4¢

s_v - в тетраэдре соответствует s_d.

Т.о. имеется 5 классов T_d={E, 3C₂, 8C₃, 6s_d, 6S₄}.

Таблица произведений представлений:

	C3v
D2	A1	A2	E
A1	A1A1	A1A2	A1E
B1	B1A1	B1A2	B1E
B2	B2A1	B2A2	B2E
B3	B3A1	B3A2	B3E

Произведения A₁A₁, A₁A₂, A₁E образуют три неприводимых представления.

Остальные 9 - зависимые и из нужно получить еще два неприводимых представления. Для нахождения этих представлений построим таблицу произведений характеров соответствующих неприводимых представлений подгрупп.

		C3v
		A1			A2			E
D2		E	2C3	3sv	E	2C3	3sv	E	2C3	3sv
		1	1	1	1	1	-1	2	-1	0
B1	1	1	1	1	1	1	-1	2	-1	0
	1	1	1	1	1	1	-1	2	-1	0
	-1	-1	-1	-1	-1	-1	1	-2	1	0
	-1	-1	-1	-1	-1	-1	1	-2	1	0
B2	1	1	1	1	1	1	-1	2	-1	0
	-1	-1	-1	-1	-1	-1	1	-2	1	0
	1	1	1	1	1	1	-1	2	-1	0
	-1	-1	-1	-1	-1	-1	1	-2	1	0
B3	1	1	1	1	1	1	-1	2	-1	0
	-1	-1	-1	-1	-1	-1	1	-2	1	0
	-1	-1	-1	-1	-1	-1	1	-2	1	0
	1	1	1	1	1	1	-1	2	-1	0

Одинаковым фоном выделены характеры элементов симметрии, относящиеся к одному классу группы T_d.

 Просуммируем для зависимых представлений характеры по классам элементов симметрии (классы в табл. выделены одним фоном) и усредним. В результате получим:

	E	3C2	8C3	6sd	6S4
B1A1	(1) 1	(1-1-1)/3 -1/3	(1+1-1-1)/4 0	(1+1)/2 1	(-1-1)/2 -1
B2A1	1	-1/3	0	0	0
B3A1	1	-1/3	0	0	0
S	3	-1	0	1	-1
B1A2	1	-1/3	0	-1	1
B2A2	1	-1/3	0	0	0
B3A2	1	-1/3	0	0	0
S	3	-1	0	-1	1
B1E	2	-2/3	0	0	0
B2E	2	-2/3	0	0	0
B3E	2	-2/3	0	0	0
S	6	-2	0	0	0

Последнее представление - сумма двух первых представлений. Т.о в группе T_d имеется еще два независимых неприводимых трехмерных представления T₁ и T₂.