Определение реакции нелинейного элемента на гармоническое

Воздействие

1. Гармоническое воздействие малой амплитуд c постоянной составляющей

, где - постоянная составляющая,  - амплитуда малой величины.

В этом случае можно отдельно рассмотреть реакцию на постоянную составляющую и на гармоническое воздействие.

Здесь можно использовать понятие статического и дифференциальных сопротивлений в рабочей точке ВАХ (U₀), а также графический метод на линейном участке.

, где ,

 

0                                                                       0  0

U0

 

2. Большая амплитуда напряжения

Используется графический метод (строить реакцию путем переноса точек на нелинейном участке).

 

U0<0     0                 0                    0                       u

 Анализ спектра реакции в нелинейном элементе

Рассмотрим спектр реакции на примере спектра тока при подаче гармонического напряжения. Если элемент линейный, то мы получаем гармонический ток (одна составляющая). Если элемент нелинейный, то получим много составляющих.

Для определения спектра, необходимо найти амплитуды спектральных составляющих и фазы. Частоты всех составляющих будут кратны основной частоте или частоте воздействия. Самый простой способ – применить степенную аппроксимацию.

Затем необходимо воспользоваться формулами разложения:

и т.д.

Число составляющих гармоник зависит от степени полинома, при этом четные степени дают четные гармоники, нечетные – нечетные.

Начальные фазы всех гармоник нулевые.

Таким образом, можно приблизительно определить спектр. Можно определить спектры при других аппроксимациях, но это более сложно математически.

Например:

Обычно амплитуды гармоник убывают с увеличением номера гармоники.

 

  Метод нескольких ординат.

 В частности рассмотрим метод трех ординат.

Данный метод позволяет определить спектральный состав тока, при этом аппроксимировать ВАХ нет необходимости.      Пусть

i0

 Берут три ординаты времени   или  и ищут ток в виде

Составляют систему уравнений:

, из которой находят амплитуды гармоник.

 

Можно использовать большее количество точек (метод пяти, семи и т.д. ординат).

Метод пяти ординат

.

t₁ = 0 (0),

t₂ = T/6 (π/3),

t₃ = T/4 (π/2),

t₄ = T/3 (2π/3),

t₅ = T/2. (π).

 

Ток в нелинейном элементе описывается уравнением вида:

, где .

Учитывая тот факт, что при t = 0, T/6, T/4, T/3, T/2 ток приобретает значения i_max, i₁, i₀, i₂, i_min соответственно, получим следующую систему из 5 алгебраических уравнений:

Решая данную систему уравнений относительно неизвестных спектральных составляющих можно найти амплитуды гармоник..

Пример расчета спектра импульсов тока и построения графиков (Mathcad 2001) по методу пяти ординат показан ниже. Здесь изображены сначала кривые тока нелинейного элемента (

 диода), далее гармонические составляющие тока во временном виде и потом амплитудный спектр в линейчатом виде. При этом показаны четыре гармонические составляющие и постоянная составляющая. Расчеты велись с использованием метода 5 ординат.

i (t) =I ₀ +I _{1 m} cos (2 ft)+I _{2 m} cos (2 2ft)+I _{3 m} cos (2 3ft)+I _{4 m} cos (2 4ft)

I₀=(i_max+i_min+2(i₁+i₂))/6, I_1m=(i_max─i_min+i₁─i₂)/3,

I_2m=(i_max+i_min-─2i₀)/4, I_3m=(i_max─i_min─2(i₁─ i₂))/6,

I_4m=(i_max+i_min─4(i₁+i₂)─6i₀)/12

 Вид тока НЭ (диода) при гармоническом напряжении при 0 смещении (U ₀=0).

.

Спектр амплитуд тока диода

 

Пример исследования при кусочно-линейной аппроксимации приведен далее.