Анализ установившихся режимов

При выходе на установившийся режим, то есть при больших значениях времени, выходы не должны сильно различаться, а в идеале вообще были бы одинаковыми, так как у нас итак большой диапазон выбора коэффициентов потребуем строгого равенства, что в принципе необязательно:

 

Окончательный выбор параметров и его обоснование.

 

Для начала выпишем все желаемые условия, которые были составлены в этом разделе

 

1)

2)

3)  

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

 

Зафиксируем коэффициент усиления и коэффициенты использования фондов, тогда мы сократим число неизвестных в решаемой задаче. Выберем их исходя только из соображений выполнения условия (6), налагаемого по физическому смыслу коэффициента, и будем выбирать a₁, a₂ из соображении равенства установившихся процессов. . Перепишем первое уравнение:

 

 

Очевидно, что благодаря этому условию перекрестные коэффициенты связаны жестким неравенством, тогда выразим  через  и будем решать задачу с оставшимися условиями только для

 

Очевидно также то, что при выполнении условия (5) (физический смысл параметров) автоматически выполняются условия (2) и (3). Таким образом, система неравенств для  выглядит следующим образом:

Ограничение (2) позволяет нам и на этом этапе выкинуть некоторые неравенства. Так как  есть некоторая небольшая окрестность вокруг точки , в которой левая часть неравенства обращается в ноль, то если эта  не является отрицательной, мы можем смело выкинуть это условие. Таким образом, избавляемся от условий (4), (5)

Решая неравенство (1) и объединяя их в систему с неравенством (6), получаем:

 

Таким образом, мы имеем понятие о порядке левой части неравенств (3) и (7), и можем теперь подобрать , которое будет соответствовать нашим запросам, подставляя значения  из промежутка, убеждаемся, что левая часть получается порядка десяток и сотен. Введу , отличающиеся на один-два порядка от значения левой части:

 

 

Так как именно при значениях  выражение под корнем начинает расти, то имеет смысл рассматривать только выражения, в которых перед корнем стоит знак минус.

 

Решая систему неравенств получаем итоговый интервал изменения

 

Что и является окончательным ограничением для . По причине того, что при большем значении  левый край интервала для  смещается вправо, лучше выбрать значение, находящееся в середине интервала или на другом его конце. Пусть

 

 

Тогда по известной в начале подраздела формуле мы получим значение

 

 

 

Таким образом, окончательно выбранные параметры системы:

 

 

Процессы в объекте управления.

Импульсное воздействие.

 

Для начала рассмотрим, как работают инерционные звенья, которые входят в состав системы, при реакции на импульсное воздействие:

 

С заданными условиями: Очевидно, что быстрота протекания процессов разная:

 

Где Т - время установления. В таком случае для наших звеньев получим следующее значение времени установления:

 

 

Приведем графики, полученные при построении данных систем с помощью MatLab (М-файл №5 в приложении):

 

Как мы видим время установления первого процесса значительно меньше, чем второго, что и предсказывает значение временных характеристик.

 

Теперь рассмотрим реакцию на импульсное воздействие каждой из систем, уже подключая перекрестные связи, коэффициенты усиления и интегратор, когда он нужен. Соответственно реакция всего объекта управления на импульсное воздействие может быть найдена при замене переменных параметров системы уже известными из подраздела 3.5, в формулы для весовой функции.

 

 

 

 

Строим графики реакции на импульсное воздействие при помощи MatLab (М-файл №6 в приложении):

 

 

Так как объект содержит интегрирующее звено, то нет ничего удивительного в том, что процесс выходит на ненулевой установившийся режим.

 

 

 

 

Аналогичным образом получаем формулы и для начальной точки весовой функции:

 

 

 

В случае импульсного воздействия , поэтому в указанных выше формулах ее опускаем.

Ступенчатое воздействие.

 

Аналогично первому подразделу рассмотрим сначала инерционные звенья в отдельности. Воспользуемся также и выводами из него. Время установления первого звена должно быть меньше, чем время установления второго. Графики, построенные при помощи MatLab (М-файл №5 в приложении):

 

 

Как мы видим время установления первого звена, как мы и предполагали меньше, чем у второго, но здесь в отличие от рассмотрения реакции на импульсное воздействие, мы уже видим, что имеются и еще кардинальные отличия – уровень, установившийся реакции. В наших случаях его можно определить по формуле:

 

 

Как видно график без всяких колебаний выходит на установившийся уровень, что тоже и должно получаться исходя из вида передаточной функции.

 

 

 

Получается, что установившийся уровень прямо пропорционален времени установления, а в данном случае вообще равен ему.

 

Теперь рассмотрим ступенчатое воздействие на подсистемы и систему в целом. Аналитически реакция на него может быть найдено при помощи простой формулы:

 

 

Построим реакции, полученные при помощи MatLab (М-файл №6 в приложении):

 

Одинаковый уровень установившийся реакции на воздействие в подсистемах объясняется тем, что мы выбирали коэффициенты исходя из соображений их равенства.

Тот факт, что оба графика выходят из нуля, можно пояснить следующими формулами:

 

 

 

И то же самое можно показать и для реакции всей системы

 

 

В случае ступенчатого воздействия , поэтому в указанных выше формулах , то есть рассматриваем просто пределы передаточных функций.

 

Выход графиков подсистем реакций на установившийся уровень можно рассчитать по следующим формулам:

 

 

А график реакции системы на ступенчатое воздействие не ограничен, что тоже легко увидеть из формулы:

 

По причине того, что при заданных параметрах мы получаем чисто вещественные корни:

 

 

То все характеристики, касающиеся колебательного затухания, можно не рассматривать и говорить, что все они равны нулю:

1)

2)

3)

4)

В таком случае следует говорить о показателях, которые будут определять только вещественную часть корней.

1)

2)

3)

Гармоническое воздействие.

Для начала опять рассмотрим характеристики инерциальных звеньев. Для этого воспользуемся пакетом MatLab, в котором построим графики их частотных характеристик (М-файл №7 в приложении). Аналогично могут быть посчитаны и построены эти же графики, но уже аналитическим методом, который предложен в разделе 2.5.

 

 

Вся логарифмическая характеристика обоих процессов лежит в области ослабления, подавляются все частоты.

 

Рассмотрим теперь логарифмические характеристики подсистем и системы.

Таким образом, анализируя полученные результаты, мы можем сказать, какой будет установившаяся реакция системы на гармоническое воздействие вида: