Решение контрольной задачи для одного шага интегрирования методами Эйлера и Рунге-Кутта (Проведение расчетов без ПК).

Начальные условия.

 Для решения тестового примера на 1 шаг интегрирования системы (1.1) методами Эйлера и Рунге- Кутта задаем следующие начальные условия:

 

        1.Шаг интегрирования h принимаем равным 0.05 секунды (h=0.05 сек.);

 

              2. V=V_g, где V_g- скорость ЛА в момент схода с направляющих, рассчитываемая по формуле:

, где

                                            q_g- угол наклона направляющих; q_g=45⁰=0,785 рад;

                                             t_g- дульное время, рассчитываемые по формуле:

V_g =   и t_g =  , где

=

V_g =

3. q=q_g- угол наклона направляющих;  q_g=45⁰=0,785 рад.

4. х- начальная абсцисса, рассчитываемая по формуле:

                    х=S_n*cosq_g=4*0.785=3.96 м

5. у- начальная ордината, рассчитываемая по формуле:

                    у= S_n*sinq_g=4*0.785=3.96 м

 

 

1.4.2. Расчет системы уравнений методом Эйлера (1 шаг).

Нахождение коэффициентов К1 для каждого уравнения.

По определению коэффициенты К1- это правые части уравнений, вычисленные при начальных условиях.

а. плотность при начальной высоте:

       

б. лобовое сопротивление при начальной (дульной) скорости:

     X=0,5*0.26*0.01767*1.22967*(72.9421)²=15.0288

в. Масса при начальном (дульном) времени:

     m=60-20*0.1095=57.81

г. К1(1)= (40000 - 9.81*57.81* 0.785 - 15.0288) / 57.81 = 683.96 м/с²

     К1(2)=-9,81*cos45⁰/ 22,708= -0.7761 рад/с

     К1(3)=22,708*cos45⁰= 3.51304 м/с

     К1(4)=22,708*sin45⁰= 3.4857 м/с

2. Результаты одного шага интегрирования по методу Эйлера:

V=V_g+К1(1)*h = 72.9421+683.96*0.05 = 107.13 м/с

q=q_g+К1(2)*h = 0.785+(-0.7761)*0.05 = 0.76867 рад

x=x₀+К1(3)*h=3.96 + 3.51304*0.05=2.82 м

y=y₀+K1(4)*h=3.96 + 3.4857* 0.05=2.82 м

        

1.4.3. Расчет системы уравнений методом Рунге-Кутта (1 шаг).

Нахождение коэффициентов К1 для каждого уравнения.

По определению коэффициенты К1- это правые части уравнений, вычисленные при начальных условиях.

а. плотность при начальной высоте:

       

б. лобовое сопротивление при начальной (дульной) скорости:

     X=0,5*0.26*0.01767*1.22967*(72.9421)²=15.0288

в. Масса при начальном (дульном) времени:

     m=60-20*0.1095=57.81

г. К1(1)= 8,1224487289

     К1(2)= -0,0112446838

     К1(3)= 1,091383734

     К1(4)= 1,0905149817

Нахождение коэффициентов К2 для каждого уравнения.

По определению коэффициенты К2- это правые части уравнений, вычисленные при полученных новых значениях параметров.

                      К2(1)= 8,1419713966

К2(2)= -0,009992507

К2(3)= 1,241945517

К2(4)= 1,2270805529

Нахождение коэффициентов К3 для каждого уравнения

По определению К3- это правые части уравнений, вычисленные при полученных новых значениях параметров.

                       К3(1)= 8,1417519898

К3(2)= -0,0099835329

К3(3)= 1,2415239848

К3(4)= 1,2282011286

Нахождение коэффициента К4 для всех уравнений

По определению К4- это правые части уравнений, вычисленные в конце шага

                     К4(1)= 8,1610849832

К4(2)= -0,0089854278

                     К4(3)= 1,3930436092

К4(4)= 1,364415478

Результаты одного шага по методу Рунге- Кутта.

                   V=V_g+(1/6)*(K1(1)+K4(1)+2*(K2(1)+K3(1))) = 30.85671 + (1/6)*(8,1224487289+

+ 1,0905149817+2*(1,091383734 -0,0112446838)) = 38,9985400808;

                    q=q_g+(1/6)*(K1(2)+K4(2)+2*(K2(2)+K3(2))) = 0.78539 + (1/6)*(8,1419713966+

                    +1,2270805529+2*(1,241945517 -0,009992507)) = 0,7749696348;

                     x=x_g+(1/6)*(K1(3)+K4(3)+2*(K2(3)+K3(3))) = 2.121 + (1/6)*(8,1417519898+

                    + 1,2282011286+2*(1,2415239848-0,0099835329)) = 3,3640591986;

                    у=у_g+(1/6)*(K1(4)+K4(4)+2*(K2(4)+K3(4))) = 2.121 + (1/6)*(8,1610849832+

                    + 1,364415478+2*(1,3930436092 -0,0089854278)) = 3,3480578471;

1.4.4 Сравнение решений тестового примера на 1 шаг, полученных вручную (п.1.4.1 и 1.4.2) и с использованием программного комплекса

Сравнение результатов производится в соответствии с данными, представленными в таблице 1.3.:

                                                                                                                  Таблица 1.3

Обозначения	Vд	qд	Xд	Yд	Vt	qt	Xt	Yt
Компьютерная модель метода Эйлера	30,85671	0,785398	2.121	2.121	38,979	0,776	3,512	3,487
Ручной счет	30,85671	0,785398	2.121	2.121	38,979	0,776	3,513	3,486
Компьютерная модель метода Рунге-Кутта	30,85671	0,785398	2.121	2.121	38,998	0,775	3,363	3,349
Ручной счет	30,85671	0,785398	2.121	2.121	38,999	0,775	3,364	3,348

 

Примечание: Результаты компьютерного решения тестового примера взяты из результатов работы программного комплекса.

 

Результаты расчета траекторных параметров неуправляемого ЛА.

Движение по направляющим.

Результатами расчета траекторных параметров данного участка траектории являются значения дульной скорости (vd) и дульного времени (td).

Результаты расчета приведены в таблице 1.4.: 

Таблица 1.4

Дульная скорость vg, м/с	Дульное время tg, с	Угол наклона , град
30,85671	0,19445	45