Аксиома детерминированности.

Любое множество A детерминировано.

Аксиома детерминированности — аксиома теории множеств, её предложили в 1962 году польские математики Ян Мычельский и Гуго Штейнгауз в качестве замены для аксиомы выбора.

Причиной поиска альтернативы аксиоме выбора стали необычные следствия из этой аксиомы, которые вызывали и продолжают вызывать критику со стороны части математиков. Многие следствия конкурирующих аксиом противоположны друг другу. С помощью аксиомы выбора доказано, что существуют множества вещественных чисел, неизмеримые по Лебегу; из аксиомы детерминированности следует, что таких множеств не существует — все множества вещественных чисел измеримы.

По-разному решается проблема континуума (существование промежуточных мощностей между счётной и континуальной).  Аксиоматика Цермело—Френкеля допускает любой из двух вариантов решения этой проблемы (то есть, она не может быть ни доказана, ни опровергнута), недоказуемость этой гипотезы в рамках аксиоматики ZFC показана Коэном в 1963 г. В то время как из аксиомы детерминированности выводится однозначное решение: любое бесконечное несчётное множество вещественных чисел континуально.

Аксиомы теории множеств.

Система аксиом ZFC (Цермело-Френкеля с аксиомой выбора).

0. Аксиома пустого множества . 

 

1. Условие равенства множеств (аксиома объёмности).

 верно, что если :  то . 

 

2. Существование множества из двух элементов (аксиома пары).

, такое что :  или . 

 

3. Аксиома объединения. Из любого семейства  множеств  можно образовать как минимум одно такое множество , каждый элемент  которого принадлежит хотя бы одному множеству  данного семейства . 

. 

 

4. Аксиома пересечения. Из любого семейства  множеств  можно образовать как минимум одно такое множество , каждый элемент  которого принадлежит всем множествам данного семейства . 

. 

 

5. Существование подмножества, элементы которого удовлетворяют некоторому свойству.

. 

 

6. Существование бесконечного множества.

 = {Ø, {Ø}, {Ø,{Ø},... }  

 

7. Существование образа функции

   

т.е. если кратко, то . 

 

8. Аксиома регулярности.  Любое непустое семейство множеств  содержит множество , все  элементы которого не принадлежат семейству . 

 

9. Аксиома выбора. Для любого класса не пересекающихся непустых множеств существует множество, содержащее только по одному элементу из каждого множества.  

Прим – бесконечное мн-во прямых на пл-ти (континуум). Не сущ пр, пересекающ со всеми только в 1 точке.

 

10. Аксиома степени (аксиома булеана). Можно образовать  множество всех подмножеств данного множества.

Упорядоченные множества.

       Говорят, что на множестве М задано бинарное отношение R,  если задано подмножество декартового произведения: .

Примеры. Отношения на множестве

Отношение равенства:

Можно перечислить все пары элементов, находящихся в данном отношении: .