Нахождение площади различных фигур на плоскости

Нахождение площади треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилось из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними.

S = 0,5 * a * b⋅sin(α), где a, b — стороны, α — угол между ними.

Площадь треугольника через основание и высоту.

S = 0,5 * a * h, где a — основание, h — высота.

Площадь треугольника через описанную окружность и стороны.

S = (a * b * c): (4 * R), где a, b, c — стороны, R — радиус описанной окружности.

Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.

S = r * (a + b + c): 2, где a, b, c — стороны, r — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что (a + b + c): 2 — это способ поиска полупериметра. Тогда формулу можно записать следующим образом:

S = r * p, где p — полупериметр.

5. Формула Герона для вычисления площади треугольника.

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

S = √ p * (p − a) * (p − b) * (p − c)​, где a, b, c — стороны, p — полупериметр, который можно найти по формуле: p = (a + b + c): 2

6. Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам.

S = 0,5 * a * b, где a, b — стороны.

 

7. Площадь равностороннего треугольника S= .

Нахождение площадей четырехугольников

Площадь произвольного четырёхугольника

Теорема: Площадь произвольного выпуклого четырехугольника равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними.

Площадь параллелограмма

Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь трапеции

Теорема: Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Площадь ромба

Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей.

Площадь прямоугольника

Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон.

Площадь квадрата

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

Площадь круга и его частей

Круг – конечная часть плоскости, ограниченная окружностью.

Круговой сектор-часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности.

Круговой сегмент – часть круга, ограниченная хордой и дугой окружностью.

Площадь круга

Площадь кругового сегмента

Площадь кругового сегмента

                     

S сегмента=Sсектора-Sтреугольника

S сегмента=Sсектора+Sтреугольника

Решая задачи на уроках в классе и изучив литературу и Интернет-источники по теме, можно выделить несколько методов нахождения площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге так, что все его вершины находятся в узлах пересечения клеток. Проблема заключается в том, чтобы в каждом случае выбрать наиболее подходящий, т.е. менее трудоемкий и более быстрый способ. Так появилась идея сравнить найденные способы по ряду критериев и создать сравнительную таблицу.

 

Практическая часть