Существуют такие системы отсчета, в которых математическая модель континуальных тел, описанная в первом параграфе, совпадает с математической моделью физических тел.

(В параграфе 4 будет озвучено еще одно соотношение, относящееся к математической модели континуальных тел)

Нетрудно видеть, что в этом постулате, скрылись сразу все 3 закона Ньютона, однако понятие материальной точки в явном виде тут не фигурирует. Таким образом удалось совершить переход от не строго определенного понятия материальной точки, к параметрам, сопоставляемым геометрической точке. В дальнейшем изложении будет показано, что в конечном результате, такой подход будет давать те-же уравнения, что были получены в концепции материальных точек.

Помимо прочего, будет видно, что способ “материальных точек” есть не что иное, как вычислительный метод, в рамках описанной теории, который в своей сущности представляет численное стремление суммы к интегралу.

Динамика поступательного движения

Проинтегрируем выражение: ρ  =  по всей длине тела:

 =

Назовем точку, с радиус вектором: =  центром масс тела.

Соответственно  = .

Следовательно:  

Последнее уравнение назовем основным уравнением динамики поступательного движения.

Динамика вращательного движения

Назовем Импульсом точки тела величину  ρ

Назовем Импульсом тела величину  =  =

Заметим, импульс тела это  = m

Назовем Кинетическим моментом точки величину  =  , где

Назовем Кинетическим моментом тела величину  = =

Векторно домножим обе части равенства ρ  =  на  слева.

ρ  =  =  +

Где  интенсивность внутрених сил, а  интенсивность внешних сил.

(Пояснение:  =  =  +  

, =  , = ))

ρ  +

ds =  +

Заметим: ds =

Если взаимодействие центральное, то есть для любых двух точек тела вектора  лежат на линии соединяющей эти точки, то нетрудно показать, что  = 0

Действительно: =

 =  = -  ds d

В интеграле  ds d  переименуем переменные s->  , ->s

Тогда  = -  ds d

Если А=В, то А =  , следовательно:

=

В случае центрального взаимодействия точек континуума  = 0

 

Таким образом получаем:  =  

Величину  =  назовем моментом внешних сил.

В общем случае уравнение  =  является частью аксиоматического построения континуума.

Таким образом мы понимаем, что вращательное движение сводится к поступательному лишь в частных случаях.

В случае, если твердое тело вращается вокруг своей оси это выражение принимает вид:  =

Тогда с учетом того, что (t) (t) =  ,  =

 =  , где  -угловое ускорение тела.

Заметим: ) =  

 =

Величину I =  назовем моментом инерции тела относительно не подвижного начала.

Отметим, что справедлива такая же формула, написанная относительно центра масс.

 

Теорема

 Формула  =  остается верной, если считать её относительно центра масс.

Доказательство

Пусть  – радиус вектор точки,  – радиус вектор, отложенный от центра масс и  – радиус вектор центра масс. Они, очевидно, связанны равенством:  =  + .

1)Кинетический момент относительно центра масс.

=  =

+  +  +  

Интеграл:  = 0, действительно:

 =  =  -  

 =  - m  = m - m  = 0

Следовательно второй интеграл  = 0

 = -  = -  dt = 0

Обозначим  =  -кинетический момент относительно центра масс.

Таким образом:  +

2)Момент сил относительно центра масс.

=  =  +  

Обозначим  =  – момент внешних сил относительно центра масс.

=  +

3) Таким образом:

 

 +  =  +

Так как:

 =  

 =  =  =  

То:  =

Ч.т.д.

Работа и Энергия

Введем понятие плотности работы b при перемещении точки тела за время : b=

Введем понятие работы при перемещении тела: A =

Введем понятие кинетической энергии:  =

Теорема №1

Если тело твердое и совершает плоские движения (не изменяет ось вращения), то кинетическая энергия представима в виде:

 =  +

Где I - момент инерции относительно центра масс.

Доказательство

Рассмотрим плоское движение ТТ (твердого тела). Возьмем за полюс центр масс.

(s) =  +

Где

(s) -скорость точки с криволинейной координатой s.

 -радиус вектор точки с криволинейной координатой s, опущенный из центра масс.

 =  =  +  + 0.5  

Первый интеграл:

Второй интеграл сводится к уже рассмотренному в параграфе 4:

 =  =  = 0

Третий интеграл:

 =  =

(Тут момент инерции считается относительно центра масс)

Ч.т.д.

Теорема №2

Для твердых тел, совершающих плоские движения верно:

1)

2)

Доказательство

1)  m =

 =

 =

ð  

 

2)

ð

Ч.т.д.

Теорема №3

Для любого твердого тела, совершившего плоское перемещение верно:

A =  +

Доказательство

(s) =  +

b=  = b=  +

A=

A=  +  (повторные интегралы)

A=  +

 

A=  +

A =  +

Ч.т.д.

Теорема №4

Для твердых тел, совершающих плоские движения верно: A=

Доказательство

По теореме №1:  =  +  

По теореме №2:  +  =  +

По теореме №3: А =  +

Таким образом: A=

Ч.т.д.

Потенциальная энергия

Назовем потенциальным такое взаимодействие, для которого плотность работы b=  по произвольному перемещению точки тела, не зависит от времени и траектории перемещения, а зависит только от начального и конечного положения точки тела.

Теорема №1

Плотность работы потенциального поля по перемещению точки по замкнутому контору равна 0.

Доказательство

Произведем перемещение из точки 0 в нее же через точку 1. Тогда:

+  =  

Произведем перемещение из точки 0 в нее же через точку 1 дважды. Тогда:

+  + +  =

Поскольку =  не зависит от способа перемещения, то:

+  + +  =  = +  

То есть: +  = 0

Рассмотрим точки 0, 1, 2 тогда:

+  +  =  = +  = 0

Совершенно ясно, что какое бы количество точек мы не рассмотрели бы, если перемещение по ним задает замкнутый контур, то в итоге плотность работы по перемещению в этом контуре будет равна 0.

Замечание:

Из доказанного следует что для любых трех точек 0,1,2 верно:

 

 

Определение:

Назовем плотностью потенциальной энергии точки, плотность работы по перемещению этой точки из (произвольно выбранного) нулевого положения в данное.

Будем писать: =

Где радиус вектором  задается текущее положение точки тела.

Назовем потенциальной энергией тела величину U =

Теорема №2

Работа потенциальных сил по перемещению тела равна убыли потенциальной энергии.

Доказательство:

При перемещении тела каждая его точка перемещается из начального, назовем его положение 1, в конечное, назовем его положение 2. Тогда для каждой точке тела существует функция:

(s) = (s)

Проинтегрируем по длине тела:

Ч.т.д.

Назовем полной механической энергией величину  +

Теорема №3

В поле потенциального взаимодействия  = const

Доказательство:

Пусть тело переместилось и потенциальное поле совершило работу А, тогда:

 ,  => +  = 0 =>  +  =const =>  = const

Ч.т.д.

§6.0 Определение и ψ в частных случаях.