Системы отсчета в механике Ньютона

  Перемещение материальной точки происходит в пространстве и изменяется со временем. Реальное пространство трехмерно, и положение материальной точки в любой момент времени полностью определяется тремя числами — ее координатами в выбранной системе отсчета. Число независимых величин, задание которых необходимо для однозначного определения положения тела, называется числом его степеней свободы. В механике необходимо кроме числовых значений величин знать и их направление, для этого используют векторный анализ. Для того чтобы описать движение точки необходимо выбрать систему координат, и устройство, с помощью которого можно измерять различные отрезки времени. Такое устройство назовем часами. Разумеется, систему координат необходимо привязать к какому то телу, это тело назовем телом отсчета. Выбранная система координат и связанные с ней часы образуют систему отсчета. Самой простой системой координат является прямоугольная или декартова система. Иногда целесообразнее выбрать другую, более подходящую под симметрию решаемой задачи систему координат, например сферическую или цилиндрическую.

 

Эталоны длины и времени

 

Относительность движения

 

Три декартовы координаты X, Y, Z определяют в пространстве радиус-вектор r, острие которого описывает при его изменении со временем траекторию материальной точки. Длина траектории точки представляет собой величину пройденного пути s (t). Путь - скалярная величина.

 

 

 

Рис.1

Кроме величины пройденного пути, перемещение точки характеризуется направлением, в котором она движется. Разность двух радиус-векторов, взятых в различные моменты времени, образует вектор перемещения точки Δr = r₁ – r₂ (рис.1).

Для того чтобы характеризовать, как быстро меняется положение точки в пространстве, пользуются понятием скорости. Под средней скоростью движения по траектории за конечное время D t понимают отношение пройденного за это время конечного пути D s ко времени:

.                           (1)

Скорость движения точки по траектории — скалярная величина. Наряду с ней можно говорить о средней скорости перемещения точки. Эта скорость — вектор, направленный вдоль вектора перемещения,

.                         (2)

Для того, чтобы характеризовать быстроту движения в данный момент времени вводят понятие мгновенной скорости движения материальной точки.

Производная радиус-вектора r по времени определяет мгновенную скорость перемещения точки.

.                                      (3)

Поскольку перемещение совпадает с бесконечно малым элементом траектории dr = d s, то вектор скорости направлен по касательной к траектории, а его величина:

.                          (4)

Как и любой вектор, вектор скорости можно разложить по трем составляющим.

,                            (5)

где  - проекции вектора скорости на координатные оси, - направляющие орты координатных осей.

Прямолинейное движение

Простейшим видом механического движения является прямолинейное движение материальной точки. В этом случае точка движется вдоль прямой линии.

Интегрируя выражение (4) в интервале времени от t₀ до t, получим формулу, позволяющую вычислить путь, пройденный телом за время t - t₀   если известна зависимость от времени его скорости

.                              (7)

Геометрический смысл этой формулы в том, что она определяет площадь под кривой V = V (t) в интервале времени от t₀ до t (см. рис. 2).

 

Рис.2

В случае равномерного движения скорость сохраняет свое постоянное значение во все время движе­ния, V = const; и из (7) следует выражение

,                      (8)

где s ₀ ‑ путь, пройденный к начальному времени t₀.

В общем случае скорость меняется со временем. Для характеристики быстроты изменения скорости используют понятие ускорения. Ускорение есть первая производную вектора скорости по времени и вторая производная по времени от радиус-вектора:

.                              (9)

Вектор ускорения, а направлен вдоль вектора приращения скорости d V. В том случае если, а = const движение носит название равноускоренного или равнозамедленного (в зависимости от знака величины а). Проинтегрируем выражение (9) в пределах от t = 0 до t:

                    (10)

.                     (11)

В проекциях на координатные оси эти уравнения запишутся как

 

                                    (12)

                                        (13)

                               (14)

 

 

,                                    (15)

,                                    (16)

.                                (17)