Аксиомы стереометрии и следствия из них

    Систематическое изучение геометрии основывается на использовании аксиоматического метода. Реализация этого метода, в котором заключена суть логической структуры геометрии, производится по следующей схеме:

1. перечисляются основные неопределяемые понятия;

2. формулируются аксиомы, описывающие основные свойства основных понятий;

3. используя неопределяемые понятия, даются определения других понятий;

4. на основании вышеизложенного доказываются теоремы – свойства различных геометрических фигур.

 

ОПР. Аксиомы – утверждения, принимаемые без доказательства, - отражают свойства основных понятий геометрии.

 

Аксиомы стереометрии

А1 Существует хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость.

Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости или не принадлежащие ей.

А2 Аксиома прямой.

Через две любые различные точки проходит прямая и притом только одна.

а                                                                                       В                                                         А                                            α

А3 Аксиома плоскости.

Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А                                           В                                С        α

Обозначение: Плоскость, проходящую через точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой, можно обозначать (АВС).

А4 Аксиома прямой и плоскости.

Прямая, проходящая через две различные точки плоскости, лежит в этой плоскости.

   А    - «прямая а лежит в плоскости α»

  т. А - «Точка А лежит в плоскости α»

А5 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

 

    В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

Обозначение: «плоскость α пересекается с плоскостью β по прямой а»

А6 Аксиома параллельных.

Через любую точку, не лежащую на данной прямой, проходит одна и только одна прямая, параллельная данной.

a                 b

Обозначение: А

А7 Аксиома связи планиметрии и стереометрии.

В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

 

Задача 1. Пусть дано изображение куба АВСDA₁B₁C₁D₁. Найдите прямую пересечения плоскостей AA₁B₁ и AA₁D₁.

A1

B1

D1

A

B

D

C1

                                                                              Дано: АВСDA₁B₁C₁D₁ - куб

                                                                              Найти: (AA₁B₁)  (AA₁D₁)

                                                                              Решение:

                                                                              Из условия следует, что точка А

                                                                              общая для данных плоскостей.

                                                                              Следовательно, прямая пересечения

                                                                              проходит через эту точку.

                                                                              Общей для этих плоскостей

                                                                              является и точка А₁. Значит прямая

                                                                              пересечения пройдет через эти

                                                                              точки. Но через две точки можно

                                                                              провести только одну прямую. Эта

С

А A

D

                                                                              прямая АА₁.

Ответ: прямая АА₁.

 

Задача 2. Пустьдано изображение четырехугольника АВСD и треугольника АМD, не лежащих в одной плоскости. Найдите прямую пересечения плоскостей ВАМ и АМD.

Дано: АВСD – четырехугольник ∆ АМD АВСD и ∆ АМD не лежат в одной плоскости Найти: (ВАМ) (АМD).

В                 С                     А                             D                                      М

Решение:

1). По условию дан ∆ АМD, тогда по определению треугольника точки А, М и D не лежат на одной прямой.

По аксиоме А3 через точки проходит плоскость , т.е. т. А, М . Значит все точки ∆ АМD лежат в плоскости

2). По условию дан четырехугольник АВСD, не лежащий в плоскости . Т.к. точки А и D лежат в плоскости , то прямая АD тоже лежит в плоскости .

3). Проведем плоскость (ВАМ). Имеем

Тогда М – общая точка для плоскостей (АМD) и (ВАМ). Получаем, что АМ – общая прямая плоскостей (АМD) и (ВАМ).

Ответ: прямая АМ.