Теорема о логарифмических уравнениях

 

СВОЙСТВО: Если

                      (указанное свойство действует и в обратном направлении).

На основании этого свойства можно сформулировать следующее утверждение

ТЕОРЕМА: Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то логарифмическое уравнение

               (а > 0 и а  1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

ПРИМЕР. Уравнение

                равносильно уравнению 2х + 3 = х + 1.

 

Методы решения логарифмических уравнений

    Методы решения логарифмических уравнений:

1. по определению логарифма и его свойствам;

2. метод потенциирования (на основе теоремы: переход от уравнения                 к уравнению вида f(x) = g(x));

3. введение новой переменной;

4. логарифмирование обеих частей уравнения;

5. использование специальной формулы;

6. функционально – графический.

Этапы решения логарифмических уравнений:

1. запись условия и нахождение ОДЗ уравнения;

2. выбор метода решения уравнения;

3. решение уравнения;

4. проверка корней с помощью ОДЗ;

5. запись ответа, исключив из него посторонние корни (не удовлетворяющие ОДЗ).

Рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений на основе первых четырех методов с помощью этапов решения уравнений.

ПРИМЕР. Решить уравнение

Этап: запись условия и нахождение ОДЗ

         

                                                                Это уравнение определено для значений х,

                                                                удовлетворяющих неравенствам:

                                           ОДЗ:

 

                                            - 1,5                     0

                                                                  Получаем ОДЗ: х

Этап: выбор метода решения уравнения

Т.к. уравнение имеет вид , то для его решения целесообразно выбрать метод потенциирования.

Этап: решение уравнения

     ;     по теореме получаем

     2х +3 = х + 1;

     2х – х = 1 – 3;

     х = - 2.

Этап: проверка корней с помощью ОДЗ

Число - 2 не принадлежит промежутку  Значит – 2 не удовлетворяет ОДЗ.

Этап: запись ответа, исключив из него посторонние корни

(не удовлетворяющие ОДЗ).

Ответ: корней нет.

 

ПРИМЕР. Решить уравнение

       lg – «десятичный логарифм» (основание логарифма равно 10)

    ОДЗ:  

 

 

                                                               ОДЗ:

D = 25 - 4∙ (-14) = 81;

х₁ = 7 и х₂ = - 2 - не удовлетворяет ОДЗ

Ответ: х = 7.

ПРИМЕР. Решить уравнение .

Этап: запись условия и нахождение ОДЗ

;            ОДЗ: х > 0.

Этап: выбор метода решения уравнения

Для решения данного уравнения не подходит метод потенциирования, т. к. уравнение не имеет вид . Определение логарифма и его свойства мы тоже применить не можем. Поэтому целесообразно применить метод введения новой переменной.

Этап: решение уравнения

t =           

                                D = 25 – 4 ∙ 3 ∙ (-2) = 49;

                     t₁ =          и       t₂ = - 2

                          возвращаемся к переменной х

                              

                                 

                              

Этап: проверка корней с помощью ОДЗ

Корни удовлетворяю ОДЗ.

Этап: запись ответа, исключив из него посторонние корни

(не удовлетворяющие ОДЗ).

Ответ: 4 и .

ПРИМЕР. Решить уравнение .

                                                             ОДЗ: ⇒

 

                                              - 3                   - 2                    1

                                                                               

По свойству:  получаем:

По теореме получаем:

;

Ответ: - 1.

ПРИМЕР. Решить уравнение .

Этап: запись условия и нахождение ОДЗ

                       ОДЗ: х > 0 и х ≠ 1

Этап: выбор метода решения уравнения

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 3 по свойству: если х = у, то .

Этап: решение уравнения

;

По свойству получаем:

;

- уравнение вида

По определению логарифма:

Этап: проверка корней с помощью ОДЗ

Корни удовлетворяю ОДЗ.

Этап: запись ответа, исключив из него посторонние корни

(не удовлетворяющие ОДЗ).

Ответ: и 9.

ПРИМЕР. Решить уравнение .