Напряжения и деформации. Закон Гука

Нормальные напряжения в поперечных сечениях. При центральном растяжении (сжатии) стержней в их поперечных сечениях действует только одно внутреннее усилие – продольная сила N.

Поэтому в этих сечениях будут возникать только нормальные напряжения . Поскольку других нормальных напряжений в поперечных сечениях нет, будем в дальнейшем опускать индекс у напряжения, обозначая .

В соответствии с гипотезой плоских сечений сечения, плоские и перпендикулярные оси стержня до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси после деформации.

Можно показать, что применение этой гипотезы приводит к простой формуле для определения нормальных напряжений при растяжении и сжатии.

 

.

(2.5)

 

Эти напряжения постоянны по сечению (рис. 2.5)

 

Рис 2.5. Распределение нормальных напряжений по сечению при растяжении

 

При известной эпюре продольных сил формула (2.5) позволяет довольно просто построить эпюру . Для этого необходимо в характерных сечениях разделить значение силы N на площадь поперечного сечения А. Если площадь постоянна по длине стержня, эпюра будет полностью подобна эпюре N.

Напряжения на наклонных площадках. Рассмотрим элемент стержня, образованный поперечным и наклонным к оси стержня сечениями (рис. 2.7, а). Стержень растягивается силами F по его концам.

 

Рис 2.7. Напряжения на наклонных площадках

 

Обозначим площадь наклонного сечения А, тогда площадь горизонтальной площадки будет равна А × соs α (рис. 2.7,б), где α – угол поворота нормали наклонного сечения относительно оси х. Очевидно, что продольная сила равна N = F = s _х × (А соs α) = p _n А и постоянна по длине стержня. Поэтому полные напряжения p _n = s _х соs α.

Разложим вектор полного напряжения p _n на две составляющие s_α и t _α и составим два уравнения равновесия и для выделенного треугольного элемента.

 

;

(2.6)

 

Обозначая s _x = s, из этих уравнений найдем

 

;   .

(2.7)

 

Из равенств (2.7) видно, что s_a и t_a являются периодическими функциями, зависящими от угла a наклона сечения. При различных углах a:

 

а) a = 0 (поперечное сечение); s_a = s; t_a = 0;

б) a = 90° (продольное сечение); s_a = 0; t_a = 0;

в) a = 45° (наклонное под углом 45° сечение); s_a = s /2; t_a = s/2.

 

Из второго равенства (2.7) можно установить, что касательные напряжения достигают максимума на площадках, наклоненных к поперечному сечению под углом 45 ° ( sin 90° = 1) и равны половине значения нормальных напряжений в поперечном сечении:

 

.

(2.8)

Максимальные нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях и определяются по формуле (2.5).

 

Деформации. Рассмотрим деформированное состояние стержней при растяжении и сжатии. При растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются, при сжатии – наоборот. Это легко наблюдать в опытах с резиновыми образцами, в которых деформации достаточно велики.

Рис 2.8. Деформирование стержня при растяжении

 

Рассмотрим, какие деформации возникают при растяжении стержня (рис. 2.8).

Величина D l = l – l ₀ называется абсолютным удлинением, или абсолютной линейной продольной деформацией стержня (здесь l ₀ – первоначальная длина, а l – длина после деформации). Величины D h = h – h₀ и D b= b – b₀ называются абсолютными линейными поперечными деформациями (здесь h ₀ и b ₀ – первоначальные поперечные размеры, h и b – поперечные размеры после деформации). Абсолютные деформации измеряются в единицах длины (метрах, сантиметрах, миллиметрах).

Если разделить величины абсолютных деформаций на первоначальные размеры, то получим величины, называемые относительными линейными деформациями. Согласно принятым ранее обозначениям осей координат (х – вдоль оси стержня, а y и z – в поперечном сечении), относительные продольные деформации будут обозначаться , а относительные поперечные деформации – и . Продольную и поперечные относительные деформации можно определить по формулам:

 

;   ;   .

(2.9)

Учитывая, что , , можно заметить, что при растяжении стержня поперечные деформации будут отрицательными. Для изотропных материалов . Из многочисленных опытов установлено, что отношение поперечных деформаций к продольным для каждого конкретного материала является постоянной величиной:

 

.

(2.10)

Константа называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона и является одной из двух упругих характеристик материала (постоянных упругости). Очевидно, что коэффициент Пуассона является безразмерной величиной. Значения для некоторых материалов приведены в табл. 2.1. Для всех материалов величина лежит в пределах от 0 до 0,5. Материал, у которого = 0,5, называется несжимаемым. Таким материалом, у которого = 0,5, является резина на основе натурального каучука. Материал, имеющий = 0, – это, например, кора пробкового дерева.

Учитывая, что продольные и поперечные деформации имеют разный знак, будет справедливым следующее выражение:

 

.

(2.11)

Обозначая e _x = e, e _y = e _z = e¢, формулу для определения коэффициента Пуассона можно переписать в часто встречающемся в учебниках по сопротивлению материалов виде:

 

.

(2.12)

Закон Гука. Связь между напряжениями и деформациями была установлена экспериментально в 1676 г. английским ученым Робертом Гуком Эта связь в случае одноосного растяжения (сжатия) имеет вид

 

.

(2.13)

и называется законом Гука. Для краткости можно опустить индексы и записать закон Гука в виде

 

или .

(2.14)

Коэффициент пропорциональности Е, входящий в закон Гука, называется модулем упругости, или модулем Юнга. Модуль упругости является второй упругой характеристикой материалов после коэффициента Пуассона и характеризует важное их свойство – жесткость. Чем больше Е, тем более жесткий материал мы имеем.

Учитывая, что линейные деформации являются безразмерными величинами, можно заключить, что размерность модуля упругости такая же, как и у напряжений (МПа).

График зависимости s(e) представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат (рис. 2.9). Графическая интерпретация модуля упругости на этом рисунке часто обозначается как тангенс угла наклона прямой к оси . Однако следует заметить, что запись tg следует воспринимать условно, так как размерность у модуля упругости – МПа, а тангенс – безразмерная величина.

 

Рис 2.9. Графическое изображение закона Гука

 

Значения модуля Юнга для разных материалов лежат в очень широких пределах. Например, для резины он равен 1–10 МПа, а для стали – больше 2·10⁵ МПа. В табл. 2.1 приведены примерные значения Е для некоторых материалов.

Таблица 2.1

Модули упругости Е и коэффициенты Пуассона ν

(примерные величины)

Материал	Е, МПа	ν
Сталь	» 2·105	» 0,3
Алюминий, медь	» 1 ·105	» 0,3
Бетон	» 2·104	» 0,15
Кирпичная кладка	» 3·103	» 0,2
Дерево	» 1·104 вдоль волокон » 400 поперек волокон	» 0,45
Резина на основе каучука	»10	0,5
Пробковая кора	»5	0