Применение теоремы запаздывания

ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ (ИМПУЛЬСОВ).

 

Пустьзадана некоторая функция φ(t), график которой представлен на рис. 4.1. При умножении этой функции φ(t) на функцию Хевисайдаполучается функция-оригинал:

                                                   (4.1)

т.е. в результате умножения произошло обнуление значений заданной функции φ (t) при t < 0 (рис.4.2).

Рис. 4.1.	Рис.4.2.

 

Рассмотрим теперь функцию - оригинал f (t), график которой представлен на рис. 4.3. Тогда функция   

                                                (4.2)

где τ – положительное число, имеет график (рис.4.4), который получается из графика f (t) сдвигом последнего на величину  τ  вдоль оси t. Таким образом, если функция f (t) определяет течение во времени некоторого процесса, то функция g (t) определяет тот же процесс, но начавшийся с опозданием τ.

Рис. 4.3.	Рис.4.4.

          

С помощью единичной функции Хевисайда запаздывающую на τ функцию g (t) (4.2) можно записать в виде:

           g (t)  = h (t - τ) ·f (t – τ),                                                  (4.3)

так как h (t - τ) = 0 при t < τ (в этом случае аргумент отрицателен) и 1 при t ≥ τ.

           При нахождении изображения оригинала в случае, когда его аргумент запаздывает, используется т е о р е м а з а п а з д ы в а н и я: если f (t) ←÷ F (p), то запаздывание аргумента оригинала  на τ > 0    приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на

е ^{- рτ}, т. е.

h (t - τ) f (t – τ) ≓    е ^{- рτ} F (p).                                            (4.4)

Пример 4.1. Найти изображение оригинала f (t)= е ^{t - 2} h (t - 2 ).

Решение. Здесь f (t)  есть функция е ^t, но включаемая с «запаздыванием» τ = 2. Так как е ^t ≓ , то по теореме запаздывания (4.4) имеем: е ^{t - 2} h (t - 2 ) ≓ .

З а м е ч а н и е. Если в записи f (t) опустить множитель h (t - 2 ), то получится функция е ^{t – 2}, которая означает оригинал е ^{t - 2} h (t) без запаздывания смотри формулу (4.1)). Изображением этого оригинала будет:

 е ^{t - 2} h (t) = е ^{– 2}· е ^t h (t)   ≓ .

Таким образом, н е д о п у с т и м о опускать множители вида h (t - τ) в записи функций (см. также пример 3.5).

Рис. 4.5.	Рис.4.6.

 

 

Пример 4.2. Найти изображение функций f ₁ (t)  и f ₂ (t), представленных соответственно на рис. 4.5 и 4.6. 

Решение. Первая функция f ₁ (t) есть импульс величины 4, «включаемый» в момент t = 0 и «погашаемый» в момент τ = 2; следовательно, согласно (4.3) запишем: f ₁ (t)= 4· h (t) - 4· h (t - 2).

Аналитическое выражение функции f ₂ (t) найдем, рассуждая следующим образом: в момент t = 0 появился импульс величины 2 - запишем: f ₂ (t) = 2· h(t).

Затем в момент τ = 1 импульс увеличился на 2:

f ₂ (t) = 2· h(t) + 2· h (t - 1 ).

Получившийся импульс в момент τ = 2 уменьшился на 3:

f ₂ (t) = 2 · h(t) + 2· h (t - 1 ) - 3· h (t - 2).

Далее в момент τ = 3 исследуемый импульс, уменьшившись на 1, стал равным 0 (исчез); т.е. окончательное выражение для f ₂ (t) запишется в виде:

f ₂ (t) = 2 · h(t) + 2· h (t - 1) - 3· h (t - 2 ) -1· h (t - 3).

Применяя теорему запаздывания(4.4), находим:

f ₁ (t) ≓  - = .

f ₂ (t) ≓  +  -  - .

З а м е ч а н и е. В рассматриваемом примере импульс имел

п р я м о у г о л ь н у ю форму, поэтому удобно было в момент изменения его формы сразу «гасить» или «увеличивать» его на наблюдаемую величину. В случае импульса более сложной формы при нахождении его аналитического описания удобнее в момент изменения формы «гасить» его до нуля и сразу «включать» импульс требуемой формы (см. примеры 4.3 и 4.4).

Пример 4.3.   Построить график      функции 

  f (t)= (t ² - 6 t + 11)· h (t – 2) и найти ее изображение.

Решение. Функция f (t) описывает некоторый процесс  φ(t), «включаемый» с запаздыванием τ = 2. Для того, чтобы решить, какой это процесс, нужно представить заданную функцию в форме:

f (t) = φ (t - 2) .    

Сделаем это:

f (t)= (t ² - 6 t + 11)· h (t – 2) =[(t – 2)² + 4 t – 4 - 6 t + 11]· h (t – 2) = 

=[(t – 2)² – 2 t + 7)]· h (t – 2) =   [(t – 2)² – 2(t - 2)+ 3)]· h (t – 2).

Отсюда следует, что f (t) есть процесс  φ(t) = t ² – 2 t + 3, «включаемый» с запаздыванием τ = 2. На рис.4.7 представлены графики функций f (t)  и φ(t). Так как

           φ(t) = t ² – 2 t + 3 ≓  -  + , 

 то применяя теорему запаздывания, находим:

           f(t) = φ (t - 2 )   ≓ (  -  + ) .

Рис. 4.7.	Рис.4.8.

Пример 4.4. Найти изображение функций f (t), представленной на рис. 4.8. 

Решение. Запишем заданную функцию в аналитическом виде:

С помощью единичной функции Хевисайда запишем f (t) одним аналитическим выражением:

В момент t = 0 «включается» функция, равная 3, следовательно, f (t) = 3 · h (t).

В момент τ = 4 функция, равная 3, «гасится» и «включается» функция :           f (t) = 3 · h (t) - 3 · h (t - 4) + .

В момент τ = 6 функция  «гасится» (сигнал исчез), следовательно, искомое выражение функции имеет вид:

f(t) = 3 · h (t) - 3 · h (t - 4) +  -  

или   f(t) = 3 · h (t) +  - .

           Чтобы найти изображение этой функции, нужно представить ее в следующей форме (см. также пример 4.3):

f (t) = 3 · h (t) + φ ₁(t - 4)  - φ₂(t - 6 ) .

Выполним следующие преобразования:

  f (t) = 3 · h (t) + [  - =

           = 3 · h (t) .

Так как

           φ₁(t)= ≓        и        φ ₂(t - 6) = ←÷ ,

то, применяя теорему запаздывания (4.4), находим:

  f (t) ≓  + .

Пример 4.5. Найти оригинал по его изображению: 

а) F (p)= ;      б) F (p)= .    

Решение. а) учитывая, что   ≒ , по теореме запаздывания (4.4) находим:      ≒ .

б) так как ≒ , применим (4.4) и получим:

  ≒ .

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА

ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ

 

В операционном исчислении обратная задача - определение оригинала f (t) по известному изображению F (p), является одной из главных.

Важным частным случаем изображений являются изображения F (p) в виде правильных (m < n) и неправильных (если m ≥ n) рациональных дробей:

 ,                                                      (5.1)

где Q_m (p) и R_n (p) - многочлены от р степени m и n соответственно.

Неправильность дроби указывает, что оригинал будет содержать дельта функцию Дирака δ(t) или ее производные.  

Во многих случаях заданное изображение можно преобразовать к такому виду, когда оригинал легко восстанавливается непосредственно с помощью свойств преобразования Лапласа и таблицы изображений. Иногда задачу удается решить с помощью теоремы об изображении свертки.

Изображения F (p) в виде  неправильной рациональной дроби, удобно п р е д в а р и т е л ь н о п р е о б р а з о в а т ь: выделить в этой дроби, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов «уголком»), целую часть – многочлен M_{m - n} (p) степени

  m - n, и некоторую правильную дробь :

где   Q ̃ _r (p) - многочлен степени r,  причем r < n.

П р и о б р а щ е н и и изображения в виде многочлена используетсясвойство линейности изображения и соответствие:

р ^к       ÷→    δ ^(к)(t) (к = 0,1,...)

           П р и о б р а щ е н и и изображения в виде правильной рациональной дроби    широко используется следующий прием: разлагают эту дробь в сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов и находят оригиналы для каждой.

Пример 5.1. Найти оригинал f (t), если .

           Решение. П е р в ы й с п о с о б. Выделяя полный квадрат в знаменателе и далее, используя табличное изображение (10), получим:

            =  =   ≒ .

           В т о р о й с п о с о б. Раскладывая дробь в сумму простейших, используя изображение для е ^at, получим

            =  - ≒

≒  =  = .

Пример 5.2. Найти оригинал f (t), если .

           Решение. П е р в ы й с п о с о б. Используем теорему Бореля об изображении свертки, получим

            = · ≒ * =  =

           =  = .

           В т о р о й с п о с о б. Раскладывая дробь в сумму простейших, используя изображение для е ^at, получим

= = + + ÷→

≒ + + = .

Пример 5.3. Найти оригинал f (t), если .

           Решение.  Найдем сначала оригинал для дроби , разложив ее в сумму простейших:

 = =  + =

 

= + = + +

≒   .

Учтем теперь сомножитель е ^{–2 р} : применив теорему запаздывания, найдем

≒ .