Точечные оценки параметров распределения

По аналогии с такими числовыми характеристиками случайной величины, как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, для выборки случайной величины X и для статистического ряда определяются следующие числовые характеристики:

выборочная средняя ,

где k – число вариант и ;

выборочная дисперсия

или , ;

выборочное среднее квадратическое отклонение

Во многих случаях бывает заранее известно, что функция распределения принадлежит к определенному классу функций распределения, зависящих от одного или нескольких параметров: . В этом случае определение неизвестной функции распределения сводится к оценке неизвестных параметров по результатам выборки. Следует заметить, что ни при каких n нельзя определить по выборке точное значение неизвестного параметра, а можно найти его приближенное значение, которое называется оценкой по выборке неизвестного параметра. Всякая оценка по выборке является функцией от выборочных значений , так как она меняется от выборки к выборке. Функцию подбирают так, чтобы случайная величина по возможности более точно аппроксимировала неслучайное неизвестное число a.

Для выполнения данного условия накладывают следующие требования на оценку: несмещенность оценки, ее эффективность и состоятельность. Наиболее часто применяемыми метода получения оценок являются метод моментов и метод максимального правдоподобия.

Несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания является выборочная средняя .

Несмещенная и состоятельная оценка дисперсии вычисляется по формуле:

.

где – исправленная дисперсия.

Для оценки среднего квадратического отклонения s используется величина S, равная квадратному корню из исправленной дисперсии, которая называется исправленным средним квадратическим отклонением.

 

Рассмотренные оценки характеризуются одним числом и называются точечными.

 

Пример 1. По заданному статистическому ряду (табл. 1) требуется:

а) построить гистограмму относительных частот;

б) перейти к вариантам и построить полигон относительных частот;

в) построить эмпирическую функцию распределения.

Таблица 1

	12 –15	15 – 18	18 – 21	21 – 24	24 – 27	27 – 30

Решение

а) Объем выборки .

Определяем относительные частоты и составляем табл. 2 с относительными частотами:

Таблица 2

	12 –15	15 – 18	18 – 21	21 – 24	24 – 27	27 – 30
	0,04	0,12	0,24	0,38	0,14	0,08

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладываются частичные интервалы длины , а над ними проводятся горизонтальные отрезки на расстоянии (рис. 1).

б) Перейдем к вариантам, положив их равными серединам частичных интервалов , где , – концы интервалов. Тогда табл. 2 превратится в табл. 3:

Таблица 3

	13,5	16,5	19,5	22,5	25,5	28,5
	0,04	0,12	0,24	0,38	0,14	0,08

Отметим на плоскости точки и, соединив соседние точки, получим полигон относительных частот (рис. 2).

в) Эмпирическая функция распределения строится по закону:

В нашем случае получаем:

График функции представлен на рис. 3.

Пример 2. В условиях примера 1 найти статистические оценки.

Решение Обратимся к табл. 3: ; ; .

Контрольные вопросы:

1. Что такое выборка?

2. Что такое варианта выборки и частота?

3. Как графически изображается выборка?

4. Точечные оценки выборки.

 

Задание 1. Задачи на закрепление материала

 

Статистический ряд задан таблицей. Требуется:

а) построить гистограмму относительных частот;

б) перейти к вариантам и построить полигон относительных частот;

в) записать эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

г) найти точечные оценки , , ;

1.	(–6; –4) (–4; –2) (–2; 0) (0; 2) (2; 4) (4; 6)
2.	(0; 2) (2; 4) (4; 6) (6; 8) (8; 10) (10; 12)
3.	(–4; –2) (–2; 0) (0; 2) (2; 4) (4; 6) (6; 8)
4.	(–2; 0) (0; 2) (2; 4) (4; 6) (6; 8) (8; 10)