Задачи по комбинаторике. Задачи 1-5

Задача 1

В маршрутном автобусе 15 мест для пассажиров, ехать в нём разрешено только сидя. В этом автобусе хотели бы ехать 20 человек, но они не встали в очередь, поэтому, в принципе, зайти в автобус может любой из этих людей.

Сколько вариантов заполнения автобуса пассажирами, если нам важен только состав группы пассажиров и безразлично, на какие места в автобусе они сядут?

Ход решения

1. Задача состоит в подсчёте возможностей выбора 15 человек из 20 человек.

2. Это выборка без возвращений (каждый человек уникален, повторений быть не может) и без учёта порядка (не имеет значения, на какие места в автобусе сядут люди)

3. Значит, нужно пользоваться формулой для =

4. Мы выбираем из 20 человек 15 человек, то есть n=20, k=15     

Задача 2

В маршрутном автобусе 15 мест для пассажиров, ехать в нём разрешено только сидя. В этом автобусе хотели бы ехать 20 человек, но они не встали в очередь, поэтому, в принципе, зайти в автобус может любой из этих людей.

Сколько вариантов заполнения автобуса пассажирами, если нам важен не только состав группы пассажиров, но также и то, на какие места в автобусе они сядут?

Ход решения

1. Задача состоит в подсчёте возможностей выбора и размещения 15 человек из 20 человек.

2. Это выборка без возвращений (каждый человек уникален, повторений быть не может) и с учётом порядка (учитывается, на какие места в автобусе сядут люди)

3. Значит, нужно пользоваться формулой для =

4. Мы выбираем из 20 человек 15 человек, то есть n=20, k=15

Задача 3

В маршрутном автобусе 15 мест для пассажиров, ехать в нём разрешено только сидя. В очереди на этот автобус тоже 15 человек.

Сколько вариантов рассаживания этих пассажиров в этом автобусе?

Ход решения

1. Задача состоит в подсчёте возможностей размещения 15 человек на 15 местах.

2. Это выборка без возвращений (каждый человек уникален, повторений быть не может) и с учётом порядка (учитывается, на какие места в автобусе сядут люди)

3. Значит, нужно пользоваться формулой для =

4. Мы выбираем из 15 человек 15 человек, то есть n=k=15, по определению факториала 0!=1

Задача 4

В маршрутном автобусе 20 мест для пассажиров, ехать в нём разрешено только сидя. В этом автобусе хотели бы ехать 15 человек.

Сколько вариантов рассаживания этих пассажиров в этом автобусе?

Ход решения

1. Задача состоит в подсчёте возможностей выбора из 20 мест для пассажиров 15 мест, на которые сядут люди (оставшиеся 5 мест для пассажиров останутся незанятыми), причём важно, на какие именно места сядут эти 15 пассажиров.

2. Это выборка без возвращений (каждый человек уникален, повторений быть не может) и с учётом порядка (учитывается, на какие места в автобусе сядут люди)

3. Значит, нужно пользоваться формулой для =

4. Мы выбираем 15 (занятых) мест из 20 (возможных) мест, то есть n=20, k=15.

Итоговая формула такая же, как в Задаче 2, но условия этих задач разные и соответственно интерпретации чисел различны: в первом случае 20 – это люди, во втором – места, в первом случае 15 – это места, во втором – люди.

Задача 5

В маршрутном автобусе 20 мест для пассажиров, ехать в нём разрешено только сидя. В этом автобусе хотели бы ехать 15 человек.

Сколько вариантов выбора мест для размещения этих пассажиров в этом автобусе, если важен лишь состав множества выбранных мест, а не то, кто именно на них сядет?

Ход решения похож на тот, что в Задаче 4, но поскольку порядок размещения людей не имеет значения, формула другая: =