Вычисление лагранжевых коэффициентов

 

(5.2)

Можно записать лагранжевы коэффициенты и более компактно: , (5.3)

где .

Формула Лагранжа при этом имеет вид .

Для вычисления лагранжевых коэффициентов может быть использована приведенная ниже схема. Сначала располагаем в таблицу разности

 

Таблица 5.3.

Таблица разностей

 

Обозначим произведение элементов первой строки через D0, второй – D1 и т.д. Произведение же элементов главной диагонали, очевидно, будет . Отсюда следует, что

.Следовательно,

.

 

Пример 5.3 Выполнено в Mathcad

Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лангранжа, если функция задана в неравно- отстоящих узлах таблицы.

 

 

 

Рис 5.2. Решения примера 5.3 в Mathcad

 

 

Отметим, что форма лагранжевых коэффициентов инвариантна относительно целой линейной подстановки (a,b – постоянны). Действительно, положив в формуле (5.2):

, , ,

после подстановки и сокращения числителя и знаменателя на aⁿ, получим:

или

,

где , что и требовалось доказать.

В случае равноотстоящих точек лагранжевы коэффициенты могут быть приведены к более простому виду.

В самом деле, полагая , будем иметь: . Отсюда

и

.

Тогда ,

где . Отсюда можно записать:

(5.4)

где

 

Пример 5.4 Выполно в Mathcad.

Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы

 

 

Рис 5.3. Решения примера 5.4 в Mathcad

 

Схема Эйткина

 

Пусть требуется найти не общее выражение , а лишь его значения при конкретных x. При этом, значения функции даны в достаточно большом количестве узлов, тогда удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткина. Согласно этой схеме последовательно вычисляются многочлены:

 

.

 

Интерполяционный многочлен степени «n», принимающий в точках xi значения , запишется следующим образом:

.

Вычисления по схеме Эйткина удобно расположить в такой таблице:

 

Таблица 5.4.

Вычисления по схеме Эйткина

						…
						…

 

Вычисления по схеме Эйткина обычно ведут до тех пор, пока последовательные многочлены и в таблице 5.4 не совпадут в пределах заданной точности.

 

Пример 5.5 Функция задана таблицей

 

1.0	1.000
1.1	1.032
1.3	1.091
1.5	1.145
1.6	1.170

Применяя схему Эйткина, найти Составим таблицу 5.4 для примера:

 

1.0	1.000	-0.15
1.1	1.032	-0.05	1.048
1.3	1.091	0.15	1.047	1.048
1.5	1.145	0.35	1.050
1.6	1.170	0.45	1.057

 

Значения и совпадают до третьего знака. На этом вычисления можно прекратить и с точностью до 0.001 записать =1.048

Остаточный член формулы Лагранжа

Остаточный член равен: .

Для него справедлива следующая оценка:

,

где на отрезке .

 

Обратное интерполирование

Пусть функция y = f(x) задана таблицей.

В задаче обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции y определить соответствующее значение аргумента x. Мы будем считать, что в рассматриваемом интервале функция f(x) монотонна, так что поставленная задача имеет единственное решение. В этом случае задача решается с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. Для этого достаточно принять переменную y за независимую, а x считать функцией от y. Запишем по заданным узлам (y_i, x_i) (i = 0,1, …, n) многочлен Лагранжа

и определим x по заданному y. Остаточный член в этом случае можно получить из остаточного члена формулы Лагранжа, меняя местами x и y.

 

Пример 5.6. Функция y = f(x) задана таблицей

 

x
y

 

Найти значение x, для которого y=10.

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид

 

где лагранжевы коэффициенты.

При y=10 получаем