Контрольная работа №2– «молекулярная физика. Термодинамика»

Молекулярная физика. Термодинамика

Основные законы и формулы

1.Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-
Клапейрона)

где p, V – давление и объём, занимаемый данной массой газа; m,  – масса и молярная масса газа; R – универсальная газовая постоянная;
T – абсолютная (термодинамическая) температура К; t – температура по шкале Цельсия;  – количество вещества.

2. Для смеси газов справедлив закон Дальтона

где  – парциальное давление i -ой компоненты смеси (давление, создаваемое одним компонентом смеси в объеме смеси и при её темпера-

туре); N – число компонентов смеси.

3.Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

или

где  – масса одной молекулы; n – концентрация молекул;  – средняя квадратичная скорость молекул;  – средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы.

4. Средняя кинетическая энергия молекулы (с учётом поступательного и вращательного движений)

где i – число степеней свободы (для одноатомной молекулы i = 3(пост.); для двухатомной молекулы i = 5 (3 пост. + 2 вращ.); для трех- и более атомной молекулы i = 6 (3 пост.+ 3 вращ.)); k – постоянная Больцмана.

5. Скорость молекул:

средняя квадратичная

;

средняя арифметическая

;

наиболее вероятная

;  .

6. Зависимость давления газа от концентрации молекул n и температуры T

7. Зависимость концентрации молекул газа от высоты во внешнем поле сил тяжести (распределение Больцмана)

где n и n ₀ - концентрации молекул газа, соответственно, на высоте h и на нулевом уровне.

    8. Обобщенный вид распределения Больцмана для любого потенциального поля

где U – потенциальная энергия молекулы.

9. Барометрическая формула, закон убывания давления газа с высотой

или

где p, p ₀ – давления газа, соответственно, на высоте h и на нулевом уровне.

10. В молекулярно-кинетической теории выделяют три явления переноса:

·перенос массы – диффузия;

·перенос импульса – внутреннее трение;

·перенос энергии – теплопроводность.

Эмпирические законы (для одномерного случая) явлений переноса:

· диффузия – законом Фика

где M – масса диффундирующей компоненты, переносимой через площадь D S за время D t; n – концентрация компоненты; ¶ n /¶ x – градиент концентрации компоненты; m ₀ – масса молекулы; D – коэффициент диффузии, для газов, определяемый уравнением:

где < l > – средняя длина свободного пробега, расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными столкновениями;
< u > –  средняя арифметическая скорость молекул:

где d –  эффективный диаметр молекулы; n – концентрация молекул;

·внутреннее трение (вязкость) – законом Ньютона

где h- динамический коэффициент вязкости, определяемый по формуле:

где r – плотность газа;D S – площадь элемента поверхности взаимодействия слоев; ¶ u /¶ x – градиент (поперечный) скорости течения слоев жидкости или газа;

· теплопроводность – законом Фурье

где D S –поверхность, через которую переносится теплота D Q за время D t; l – коэффициент теплопроводности, определяемый по формуле (для газов):

где ¶ T /¶ x – градиент температуры (направление потока теплоты совпадает с направлением падения температуры, чтобы уменьшить существующий градиент температуры); с _V – удельная теплоемкость при постоянном объеме; r – плотность газа.

11. Теплоёмкость системы (тела)

,

где  – количество теплоты, сообщённое системе (телу);  – изменение температуры системы (тела), вызванное сообщением этого количества теплоты.

12. Молярная и удельная теплоёмкости

; .

13. Молярные теплоёмкости идеального газа при постоянном объёме и постоянном давлении

; .

14. Соотношение между молярной и удельной теплоёмкостями

15. Удельные теплоёмкости при постоянном объёме и постоянном давлении

С _{V уд} ; С _{Р уд} .

16. Отношение теплоёмкостей (показатель адиабаты)

17. Внутренняя энергия идеального газа массой m при некоторой температуре Т

.

18. Для любого процесса, происходящего с идеальным газом, изменение внутренней энергии не зависит от процесса и рассчитывается по формуле

.

19. Первое начало термодинамики

где Q – количество теплоты, сообщённое газу в рассматриваемом процессе;  – изменение внутренней энергии в данном процессе; А – работа газа над внешними силами.

16. Работа, совершаемая газом при изменении его объёма

где  и  – начальный и конечный объём соответственно.

20. Первое начало термодинамики и работа в приложении к изопроцессам.

· Изотермический процесс: T = const; = 0; ;

.

· Изохорический процесс: V = const; ; ;

.

· Изобарический процесс: Р = const;

;

· Адиабатный процесс – процесс, при котором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой:

Q _адиаб = 0;

А _адиаб  = .

или

А _адиаб = ,

где γ– показатель адиабаты.

21. В адиабатном процессе изменяются все параметры идеального газа: P, V и T. Уравнения адиабатного процесса имеют вид уравнений Пуассона

;

;

.

22. Коэффициент полезного действия для замкнутого процесса тепловой машины:

· идеальной

· идеальной, работающей по циклу Карно

где А – полезная работа;  и  – соответственно количество теплоты, полученное от нагревателя и отданное холодильнику;  и  – соответственно температуры нагревателя и холодильника.

23. Энтропия системы есть функция ее состояния, определенная с точностью до произвольной постоянной, и численно равная:

,

где d Q / T - приведенное количество теплоты.

Для адиабатически изолированных систем (d Q =0) d S =0 т.е.
S = const.

    Вероятностный характер энтропии определяется выражением, введенным Больцманом:

S = k ln W,

где k – постоянная Больцмана; W – термодинамическая вероятность нахождения системы в том или ином состоянии.

    24. Уравнение Ван-дер-Ваальса для реального газа имеет следующий вид:

· для одного моля газа

· для произвольного количества вещества

где а / V ² – поправочный член, учитывающий притяжение между молекулами; b – поправка, учитывающая размеры молекул и в неявном виде силы отталкивания между ними.

    Связь между критическими параметрами, с учетом поправок а и b Ван-дер-Ваальса:

    - критический объем одного моля газа V _кр=3 b;

    - критическое давление р _кр= а /(27 b ²);

    - критическая температура T _кр= 8 а /(27 Rb).

Примеры решения задач

Пример 1. В сосуде л содержится 10 г азота  и 20 г углекислого газа  при К. Определить молярную массу смеси и давление смеси до и после её нагревания до температуры 400К.

Дано: л = ;  г = 0,01 кг;  г = 0,02 кг;  К.

Найти: р; ; (  = 400 K).

Решение. Согласно закону Дальтона давление смеси газов равно сумме парциальных давлений составляющих ее газов

      (1)
Запишем парциальные давления газа азота  и углекислого газа , используя уравнение состояния:

,                              (2)
                         (3)
Молярные массы газов выбираем по таблице Д.И. Менделеева

г/моль = 28∙10 ^–3 кг/моль;

г/моль = 44∙10 ^–3 кг/моль.

Подставив парциальные давления из уравнений (2) и (3) в (1), получим

Выполним вычисления давления до нагревания

 Па.

Молярная масса смеси

Выполним вычисления молярной массы смеси

кг/моль.

Так как объём смеси не изменяется, то уравнение состояния газа можно записать в виде

Откуда

Найдем давление смеси после её нагревания:

 Па.

Ответ: Па;  кг/моль; Па.

Пример 2. Частицы гуммигута диаметром 0,3×10^-4см были взвешены в жидкости, плотность которой на 0,2 г/см³ меньше плотности частиц. Температура гуммигута 20°С. Найти по этим данным значение числа Авогадро, если в двух соседних слоях, расстояние между которыми 100 мкм, число частиц различается в два раза.

Дано: d =0,3×10^-4см = 0,310^{- 6} м; ρ – =0,2 г/см³= 200 кг/м³;
t = 20°С; h ₂ – h ₁=100 мкм = 1×10^-4м; n ₁= 2 n ₂.

Найти: N_A.

Решение. Проведем расчеты по формуле Больцмана

Концентрация молекул на высоте h ₁ определяется как

а на высоте h ₂

Отсюда, отношение концентраций определим следующей зависимостью

или .

Т.к. масса частицы определяется выражением m ₀ = m/ N_A, то можно записать:

.

Из этого выражения, учитывая поправку на силу Архимеда, получим

,

где r и – соответственно плотность гуммигута и жидкости.

Выполним вычисления

Ответ:

Пример 3. Вычислить удельные теплоемкости c_V и с _p смеси неона и водорода. Массовые доли газов соответственно равны w₁=0,8 и
w₂=0,2.

Дано: w₁=0,8; w₂=0,2; i ₁= 3; i ₁= 5.

Найти: c_V; с _p.

Решение. Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме с _V найдем из следующих соображений. Теплоту, необходи­мую для нагревания смеси на D T, выразим двумя соотношениями:

Q = c_V (m ₁ + m ₂)D T,(1)

где c _V – удельная теплоемкость смеси; m ₁– масса неона; m ₂– масса водорода, и

Q = (c_{V 1} m ₁ + c_{V 2} m ₂)D T                        (2)

где c _{V 1} и c _{V 2} – удельные теплоемкости неона и водорода соответственно.

Удельные теплоёмкости при постоянном объёме для неона и водорода соответственно равны

с _{V 1}    и с _{V 2}  .

Приравняв правые части выражений (1) и (2) иразделив обе части полученного равенства на D T, получим

c_V (m ₁ + m ₂) = c_{V 1} m ₁ + c_{V 2} m ₂ ,

откуда

(3)

Отношения w₁ = m ₁/(m ₁+ m ₂) и w₂ = m ₂/(m ₁+ m ₂) выражают массовые доли соответственно неона и водорода. С учетом этих значений выражение (3) примет вид

c_V = c_{V 1}w₁ + c_{V 2}w₂.

Выполним вычисления c_{V 1}, c_{V 2} и c_V

с _{V 1} ;

с _{V 2} ;

c_V = 0,623×0,8 + 10,4×0,2 = 2,58 кДж/(кг×К).

Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

с_Р = c _{Р 1}w₁ + c _{Р 2}w₂,

где c _{Р 1} и c _{Р 2} – удельные теплоемкости при постоянном давлении для неона и водорода соответственно.

Удельные теплоёмкости при постоянном давлении для неона и водорода соответственно равны

с_{Р 1}    и с_{Р 2}  .

Выполним вычисления c _{Р 1}, c _{Р 2} и c _Р

с_{Р 1} ;

с_{Р 2} ;

c _Р = 1,39×0,8 + 14,54×0,2 = 4,02 кДж/(кг×К).

Ответ: c_V =2,58 кДж/(кг×К); c _Р = 4,02 кДж/(кг×К).

Пример 4. Кислород занимает объем V ₁=1 м³ и находится под давлением р ₁ = 200 кПа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объема V ₂=3 м³, а затем при постоянном объеме до давления
p ₃= 500 кПа. Найти: 1) изменение D U внутренней энергии газа; 2) совершенную им работу A; 3) количество теплоты Q,переданное газу.

Дано: V ₁=1 м³; V ₂=3 м³; р ₁ = 200 кПа; p ₃= 500 кПа; i = 5.

Найти: D U; A; Q.

Решение. 1. Изменение внутренней энергии газа при переходе его из состояния 1 в состояние 3

D U = c_Vm D T,

где c_V – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; m – масса газа; D Т – разность температур, соответствующих конечному 3 и начальному 1 состояниям газа, т. е.D T = T ₃- T ₁.

Так как

где m — молярная масса газа, то

Температуры T ₁ и T ₃выразим из уравнения Менделеева-Клапейрона:

С учетом этого получаем:

Выполним вычисления D U

МДж.

2. Полная работа, совершаемая газом, равна

А = A ₁+ A ₂,

где А ₁– работа на участке 1-2; А ₂– работа на участке 2-3.

На участке 1-2 давление постоянно (р =const). Работа в изобарном процессе

A ₁= p ₁ (V ₂ – V ₁).

На участке 2-3 объем газа не изменяется (V =const).Следовательно, работа газа на этом участке равна нулю (А ₂= 0).

Таким образом, полная работа

A = A ₁= р (V ₂ – V ₁).

Выполним вычисления А

A = 2×10⁵×(3 – 1) = 0,4 МДж.

3. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q, переданное газу, равно сумме работы А, совершенной газом, и изменению D U внутренней энергии

Q =D U + A.

Выполним вычисления Q

Q =3,25 + 0,4 = 3,65 МДж.

Ответ: D U = 3,25 МДж; А =0,4 МДж; Q = 3,65 МДж.

Пример 5. Найти КПД тепловой машины, работающей по циклу, состоящему из двух изохор и двух изобар, если известно что  Дж/(К∙моль).

Дано: ;  Дж/(К∙моль).

Найти: .

Р

V

Р min

P max

V min

V mаx

1

2

3

4

(P 2; V 2)

(P 1; V 1)

(P 3; V 3)

(P 4; V 4)

Решение. Изобразим цикл, по которому работает тепловая машина, в координатах P - V (рис. 9).

 

 

Рис. 9 – Цикл тепловой машины

Как видно из рисунка

По определению КПД

Работа тепловой машины за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной кривой цикла. В данной задаче работа численно равна площади прямоугольника

A _цикла = (P ₂ – P ₁) (V ₂ – V ₁) = (2 P ₁ – P ₁) (2 V ₁ – V ₁) = P ₁ V ₁

так как

Используя уравнение состояния идеального газа (для состояния 1) , получаем

                                         (1)

В процессах 1-2 и 2-3 рабочее тело получает теплоту, так как с газом происходит изохорное нагревание и изобарное расширение (Q _1-2 > 0, Q _2-3 > 0).

Тогда

В процессах изохорного охлаждения 3-4 и изобарного сжатия 4-1 рабочее тело машины отдаёт теплоту(Q _1-2 < 0, Q _2-3 < 0).

Количество подведённой теплоты равно

                    (2)

Используя уравнение состояния , определим температуры  и :

1) в процессе 1-2 (изохорный процесс)

, ,                                 (3)

т. к. Р ₂= 2 Р ₁;

2) в процессе 2-3 (изобарный процесс)

, ,                          (4)

т. к. V ₃ = 2 V ₂.

Молярные теплоёмкости в изобарном и изохорном процессах:

                                    (5)

Подставим выражения (3), (4), (5) в (2), получим

. (6)

Подставим уравнения (6) и (1) в выражение для определения , получим

Выполним вычисления КПД идеальной тепловой машины

или .

Ответ: .

Пример 6. Определить изменение D S энтропии при изотермическом расширении кислорода массой m =10 г от объема V ₁=25 л до объема V ₂=100 л.

Дано: V ₁=25 л; V ₂= 100 л; m = 10 г = 10×10^-3 кг.

Найти: D S.

Решение. Так как процесс изотермический, то в общем, выражении энтропии

температуру выносим за знак интеграла.

Тогда

           (1)

Количество теплоты Q, полученное газом, найдем по первому началу термодинамики: Q = А +D U.

Для изотермического процесса D U =0, следовательно,

Q=А, (2)

Работа А в изотермическом процессе

. (3)
С учетом (2) и (3) равенство (1) примет вид

.

Выполним вычисления D S

Дж/К.

Ответ: D S = 3,60 Дж/К.

Пример 7. В баллоне вместимостью V = 8 л находится кислород массой m = 0,3 кг при температуре Т =300 К. Найти, какую часть вместимости сосуда составляет собственный объем молекул газа. Определить отношение внутреннего давления p^' к давлению р газа на стенки сосуда.

Дано: V = 8 л = 8×10^-3 м³; m = 0,3 кг; Т =300 К.

Найти: k ₁; k ₂.

Решение. Для получения ответа на первый вопрос задачи необходимо найти отношение

k ₁ = V ' / V                                         (1)

где V ' — собственный объем молекул.

Собственный объем молекул найдем, воспользовавшись постоянной b Ван-дер-Ваальса, равной учетверенному объему молекул, содержащихся в одном моле реального газа. В уравнении Ван-дер-Ваальса

                (2)
поправка b означает учетверенный объем молекул всего газа, тоесть

n b =4 V '.

Тогда          V '= n b /4    или V '= mb /(4m),

где n= m/М –количество вещества; m - молярная масса.

Подставив полученное значение V ' в выражение (1), получим

k ₁ = mb /(4m V).

Выполним вычисления k ₁

или k ₁ = 0,93%.

Следовательно, собственный объем молекул составляет 0,93% от объема сосуда.

Для ответа на второй вопрос задачи надо найти отношение

k ₂ =p' / р.         (3)

Согласно уравнению (2)

р' =n² а / V ²или р'=m ² а /m² V ²,

где а -постоянная Ван-дер-Ваальса для одного моля газа.

Выполним вычисления р' по формуле (4)

кПа.

Давление p, производимое газом на стенки сосуда, найдем из уравнения (2)

Выполним вычисления p

=2,84 МПа.

Выполним вычисления k ₂ согласно выражению (3)

или k ₂ = 6,5%.

Следовательно, давление газа, обусловленное силами притяжения молекул, составляет 6,5% давления газа на стенки сосуда.

Ответ: k ₁ = 0,93%, k ₂ = 6,5%.