Г. Задачи на движение по прямой

1) Из пунк­та A в пункт B од­но­вре­мен­но вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля. Пер­вый про­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью весь путь. Вто­рой про­ехал первую по­ло­ви­ну пути со ско­ро­стью 24 км/ч, а вто­рую по­ло­ви­ну пути – со ско­ро­стью, на 16 км/ч боль­шей ско­ро­сти пер­во­го, в ре­зуль­та­те чего при­был в пункт B од­но­вре­мен­но с пер­вым ав­то­мо­би­лем. Най­ди­те ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние. Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля, тогда ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля на вто­рой по­ло­ви­не пути равна км/ч. При­мем рас­сто­я­ние между пунк­та­ми за . Ав­то­мо­би­ли были в пути одно и то же время, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля была равна 32 км/ч.                           Ответ: 32.

2) Два ве­ло­си­пе­ди­ста од­но­вре­мен­но от­пра­ви­лись в 88–ки­ло­мет­ро­вый про­бег. Пер­вый ехал со ско­ро­стью, на 3 км/ч боль­шей, чем ско­рость вто­ро­го, и при­был к фи­ни­шу на 3 часа рань­ше вто­ро­го. Найти ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу вто­рым. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние. Пусть км/ч – ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу вто­рым, тогда ско­рость пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста – км/ч. Пер­вый ве­ло­си­пе­дист при­был к фи­ни­шу на 3 часа рань­ше вто­ро­го, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу вто­рым, равна 8 км/ч.

Ответ: 8.

3) По­ло­ви­ну вре­ме­ни, за­тра­чен­но­го на до­ро­гу, ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 74 км/ч, а вто­рую по­ло­ви­ну вре­ме­ни – со ско­ро­стью 66 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние. Чтобы найти сред­нюю ско­рость на про­тя­же­нии пути, нужно весь путь раз­де­лить на все время дви­же­ния. Пусть ав­то­мо­биль на­хо­дил­ся в пути часов, тогда его сред­няя ско­рость равна:

км/ч.                                                                                                              Ответ: 70.

4) Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 80 км/ч, про­ез­жа­ет мимо при­до­рож­но­го стол­ба за 36 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах.

Ре­ше­ние. Ско­рость по­ез­да равна . За 36 се­кунд поезд про­хо­дит мимо при­до­рож­но­го стол­ба рас­сто­я­ние, рав­ное своей длине:

.                                                                                                                  Ответ: 800.

5) По двум па­рал­лель­ным же­лез­но­до­рож­ным путям друг нав­стре­чу другу сле­ду­ют ско­рый и пас­са­жир­ский по­ез­да, ско­ро­сти ко­то­рых равны со­от­вет­ствен­но 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пас­са­жир­ско­го по­ез­да равна 700 мет­рам. Най­ди­те длину ско­ро­го по­ез­да, если время, за ко­то­рое он про­шел мимо пас­са­жир­ско­го по­ез­да, равно 36 се­кун­дам. Ответ дайте в мет­рах.

Ре­ше­ние. От­но­си­тель­ная ско­рость по­ез­дов равна

За 36 се­кунд один поезд про­хо­дит мимо дру­го­го, то есть вме­сте по­ез­да пре­одо­ле­ва­ют рас­сто­я­ние, рав­ное сумме их длин:

м,

по­это­му длина ско­ро­го по­ез­да                                                        Ответ: 300.

6) Два че­ло­ве­ка от­прав­ля­ют­ся из од­но­го и того же места на про­гул­ку до опуш­ки леса, на­хо­дя­щей­ся в 4,4 км от места от­прав­ле­ния. Один идёт со ско­ро­стью 2,5 км/ч, а дру­гой — со ско­ро­стью 3 км/ч. Дойдя до опуш­ки, вто­рой с той же ско­ро­стью воз­вра­ща­ет­ся об­рат­но. На каком рас­сто­я­нии от точки от­прав­ле­ния про­изойдёт их встре­ча?

Ре­ше­ние. Пусть x ч — время, про­шед­шее от на­ча­ла дви­же­ния до мо­мен­та встре­чи пе­ше­хо­дов. Тогда к мо­мен­ту их встре­чи тот, кто шёл мед­лен­нее, прошёл 2,5 x км, а тот, кто шёл быст­рее, прошёл 4,4 км до опуш­ки и ещё 3 x км в об­рат­ном на­прав­ле­нии. Пе­ше­хо­ды встре­ти­лись на одном и том же рас­сто­я­нии от опуш­ки, по­это­му рас­сто­я­ние, ко­то­рое ещё оста­лось прой­ти до опуш­ки более мед­лен­но­му из них, равно рас­сто­я­нию, на ко­то­рое более быст­рый от неё уже уда­лил­ся. Сле­до­ва­тель­но, 4,4 − 2,5 х = 3 х − 4,4, от­ку­да х = 1,6 ч, а ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно 2,5 · 1,8 = 4 км.

Ответ: 4.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние. Тот, кто идет быст­рее, дой­дет до опуш­ки за 4,4: 3 = 22/15 часа. За это время тот, кто идет мед­лен­нее, прой­дет 2,5 · 22/15 = 11/3 км и ока­жет­ся на рас­сто­я­нии 4,4 − 11/3 = 11/15 км от опуш­ки. Далее они пой­дут на встре­чу друг другу со ско­ро­стью сбли­же­ния 5,5 км/час и пре­одо­ле­ют раз­де­ля­ю­щее их рас­сто­я­ние за (11/15): 5,5 = 2/15 часа. За это время мед­лен­но иду­щий пе­ше­ход прой­дет еще 2,5 · 2/15 = 1/3 км и ока­жет­ся на рас­сто­я­нии 11/3 + 1/3 = 4 км от точки от­прав­ле­ния.