Длина свободного пробега и число столкновений молекул

 

2.248. Вывести формулу, определяющую долю ω молекул, энергия ε которых много меньше kT. Функцию распределения молекул по энергиям считать известной.

2.249. Определить долю ω молекул, энергия которых находится в пределах от ε₁ = 0 до ε₂ = 0,01 kT.

2.250. Известно, что число молекул, энергия которых заключена в пределах от нуля до некоторого значения ε, составляет 0,5 % от общего числа молекул. Определить величину ε в долях kT.

2.251. Пологая, что функция распределения молекул по энергиям известна, вывести формулу, определяющую долю ω молекул, энергия ε которых много больше энергии теплового движения молекул.

2.252. Используя функцию распределения молекул по энергиям, определить наиболее вероятное значение энергии ε_в.

2.253. Найти относительное число ω молекул идеального газа, кинетические энергии которых отличаются от наиболее вероятного значения ε_в энергии не более чем на 5 %.

2.254. Во сколько раз изменится значение максимума функции f (ε) распределения молекул идеального газа по энергиям, если температура Т газа увеличится в 2 раза?

2.255. Определить, во сколько раз средняя кинетическая энергия  поступательного движения молекул идеального газа отличается от наиболее вероятного значения ε_в кинетической энергии поступательного движения при той же температуре.

 

 

РАЗДЕЛ 2

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

 

Основные законы и формулы

 

Связь между молярной (С) и удельной (с) теплоемкостями газа:

 

,

 

где  – молярная масса газа.

Молярные теплоемкости при постоянном объеме (С _V) и постоянном давлении (С_р) соответственно равны:

 

,

 

где i – число степеней свободы; R – универсальная газовая постоянная.

Удельные теплоемкости при постоянном объеме (с _V) и постоянном давлении (с_р) соответственно равны:

 

.

Уравнение Майера:

Показатель адиабаты:

 

.

 

Внутренняя энергия идеального газа:

 

 

где  – средняя кинетическая энергия молекулы; N –число молекулгаза;  – количество молей вещества.

Работа, совершаемая газом при изменении его объема, в общем случае вычисляется по формуле:

 

,

 

где V ₁ – начальный объем газа; V ₂ – конечный объем газа.

Работа, совершаемая газом при изобарном процессе :

 

,

 

где V ₁ – начальный объем газа; V ₂ – конечный объемы газа.

Работа, совершаемая газом при изотермическом процессе :

 

 

Работа, совершаемая газом при адиабатном процессе (Q = 0):

 

 

где Т ₁ – начальная температура газа; Т ₂ – конечная температура газа.

Уравнение адиабаты (уравнение Пуассона):

 

Связь между начальным и конечным значениями параметров состояний газа при адиабатном процессе:

 

.

 

Первое начало (закон) термодинамики:

а) для бесконечно малого изменения состояния системы (элементарного квазистатического процесса):

 

,

 

где  – бесконечно малое (элементарное) количество теплоты, подводимое к системе;  – бесконечно малое изменение внутренней энергии системы;  – бесконечно малая (элементарная) работа, совершаемая системой против внешних сил;

б) для конечного изменения состояния системы:

 

 

Количество теплоты Q, подводимое к системе, изменение  – внутренней энергии газа и работа A, совершаемая газом против внешних сил при изопроцессах:

а) изохорном :

 

 

б) изобарном :

 

в) изотермическом :

 

 

г) адиабатном (энтропия S = const при обратном процессе):

 

 

или

 

 

Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла в общем случае:

 

 

где  – количество теплоты, полученное от нагревателя рабочим телом;  – количество теплоты, отданное холодильнику; А – работа, совершенная рабочим телом.

Термический КПД цикла Карно:

 

 

где  – температура нагревателя;  – температура холодильника.

Изменение энтропии:

а) при обратимых процессах:

 

б) при необратимых процессах:

 

 

где  и  – энтропии начального и конечного состояний системы;

в) при фазовом переходе «твердое тело – жидкость»:

 

 

где знак «+» относится к плавлению, а знак «–» к отвердеванию,  – удельная теплота плавления;

г) при фазовом переходе «жидкость – газ»:

 

 

где знак «+» относится к испарению, а знак «–» к конденсации,  – удельная теплота парообразования;

д) при изотермическом процессе :

 

 

где при  расширение, энтропия растет, при  сжатие, энтропия уменьшается;

е) при изобарном процессе :

 

 

ж) при изохорном :

 

 

з) при адиабатном процессе: .

Формула Больцмана:

 

,

 

где  – энтропия системы;  – статистический вес или термодинамическая вероятность состояния системы;  – постоянная Больцмана.

 

Примеры решения задач

 

Пример 1. Найти удельные теплоемкости с_р и с _v смеси газов кислорода и аргона, если массовые доли газов соответственно равны ω₁ = 90 % и ω₂ = 10 %.

 

Дано: ω1 = 90 % М 1 = 32∙10–3 кг/моль ω2 = 10 % М 2 = 40∙10–3 кг/моль	Решение: Для определения удельной теплоемкости с v смеси при постоянном объеме найдем теплоту, необходимую для нагревания смеси газов на Δ Τ:
Найти: ср и с v	Q = с v ∙(m 1 + m 2)∙Δ Τ, Q = (с v 1∙ m 1 + С v 2∙ m 2)∙Δ Τ,

 

где с _{v 1} – удельная теплоемкость кислорода, с _{v 2} – удельная емкость аргона.

Приравниваем равные части и делим на Δ Τ обе части равенства:

 

с _v ∙(m ₁ + m ₂) = с _{v 1}∙ m ₁+ с _{v 2}∙ m ₂.

 

Откуда:

 

 

Или

 

с _v = с _{v 1}∙ω₁ + с _{v 2}∙ω₂,

 

где  и

 

Рассуждая аналогично, получаем формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

 

с _p = с _{p 1}∙ω₁ + с _{p 2}∙ω₂.

 

Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются по формулам:

 

 

где i ₁ = 5 – число степеней свободы молекул кислорода, i ₂ = 3 – число степеней свободы молекул аргона.

Получаем для удельных теплоемкостей смеси при постоянном объеме:

 

 

Производим вычисления:

 

 

Удельная теплоемкость смеси при постоянном давлении:

 

 

Производим вычисления:

 

 

Ответ: с _v = 615,5 ; с_р = 870 .

Пример 2. Найти среднюю длину свободного пробега  молекул водорода при давлении Р = 10⁵ Па и температуре t = 20 °C.

 

Дано:   μ = 2·10–3 Р = 105 Па t = 20 °C; Т = 293 К	Решение:   Длина свободного пробега молекул газа находится по формуле:     где d = 2,3·10–10 м – эффективное значение диаметра молекулы водорода; n – концентрация молекул газа, находится из формулы p = n ∙ k ∙ T, получаем:   ,   где k – постоянная Больцмана.
Найти =?

Подставляем значение концентрации n в формулу длины свободного пробега, получаем:

 

 

Сделаем проверку размерности:

 

 

Подставляем числовые значения в конечную формулу:

 

 

Ответ: 17 мм.

Пример 3. Водород занимает объем V = 20 м³ при давлении 0,2 МПа, его нагревают при постоянном объеме до давления 0,5 МПа. Определить изменение Δ U внутренней энергии газа; работу А, совершенную им, и количество теплоты Q, переданной газу.

 

Дано:   μ = 2·10–3 V = 20 м3 = const P 1 = 0,2 МПа = 0,2·106 Па P 1 = 0,5 МПа = 0,5·106 Па	Решение:   Изменение внутренней энергии газа:     где i = 5 – число степеней свободы молекулы водорода. Разность температур Δ Т находим из уравнения Менделеева–Клапейрона
Найти: Δ U =?; А =?; Q =?

 

Запишем его для двух температур Т ₁ и Т ₂:

 

 и .

 

Откуда:

 

 

Получаем:

 

 

Полученное значение подставляем в формулу изменения внутренней энергии газа:

 

 

Производим вычисления:

 

 

Работа газа при V = const равна нулю.

Из первого начала термодинамики следует, что количество теплоты Q идет полностью на увеличение внутренней энергии газа.

 

Q = Δ U + A или Q = Δ U.

 

Ответ: Δ U = Q = 15 МДж; А = 0.

Пример 4. В бензиновом автомобильном двигателе степень сжатия горючей смеси равна 8,2. Смесь засасывается в цилиндр при t ₁ = 30 °C. Найти температуру горючей смеси в конце такта сжатия. Горючую смесь рассматривать как двухатомный идеальный газ. Процесс считать адиабатным.

 

Дано: t 1 = 30 °C; Т 1 = 303 К i = 5	Решение: Уравнение адиабаты для идеального газа:     Откуда:
Найти: Т 2 =?

где  – показатель адиабаты.

Для двухатомного газа i = 5, тогда:

 

 

Произведем необходимые вычисления:

 

 

Ответ: Т ₂ = 703 К.

Пример 5. Работа изотермического расширения газа массой 50 г от объема V ₁ до V ₂ = 2 V ₁, равна 2875 Дж. Найти среднюю квадратичную скорость молекул газа при этой температуре.

 

Дано: m = 50 г = 0,05 кг V 1 V 2 = 2 V 1 A = 2875 Дж	Решение: Элементарная работа по расширению газа δ A = P d V, тогда полная работа:
	Давление газа Р находим из уравнения Менделеева–Клапейрона:

 

Получаем:

 

 

Подставляем значение давления в формулу работы:

 

 

Из последнего выражения находим температуру:

 

 

Средняя квадратичная скорость равна:

 

 

Подставляем в формулу средней квадратичной скорости значение температуры:

 

Производим необходимые вычисления:

 

 

Ответ: .

Пример 6. Найти изменение энтропии 8 г кислорода, занимающего объем 20 л при температуре 300 К, если давление увеличить в 3 раза при постоянной температуре, а затем повысить температуру до 350 К.

 

Дано: μ = 32·10–3 m = 8 г = 8·10–3 кг V 1 = 20 л = 0,02 м3 Т 1 = 300 К Т 2 = 350 К Р 2 = 3 Р 1	Решение: Формула изменения энтропии:     где d Q – изменение количества теплоты; Т – термодинамическая температура. Изменение количества теплоты находим из первого закона термодинамики:
Найти: Δ S =?	d Q = d U + P d V,

где  – изменение внутренней энергии.

 

 

Величину давления P найдем из уравнения Менделеева–Клапейрона:

 

,

 

получаем:

 

Для двухатомного газа i = 5.

Получаем для молярной теплоемкости при постоянном объеме:

 

 

Подставляя эти уравнения в формулу первого начала термодинамики, получаем:

 

 

Находим изменение энтропии:

 

 

Из уравнения для изотермического процесса P ₁· V ₁ = P ₂· V ₂, находим:

 

 

Тогда для изменения энтропии Δ S получаем:

 

.

 

Делаем подстановку и производим вычисления:

 

 

Ответ: Δ S = –1,48

Пример 7. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика Т ₁ = 500 К. Определить термический к.п.д. цикла  и температуру Т ₂ теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу .

Дано:   Цикл Карно	Решение: Термический к.п.д. тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический к.п.д. выражается формулой:   ,   где А – работа, совершенная рабочим телом рабочей машины.

Зная к.п.д. цикла, можно по формуле

 

 

определить температуру охладителя :

 

 

Произведением вычисления:

 

 = 350/1000 = 0,35;

 = 500 (1 – 0,35) К = 325 К.

 

Ответ: 35 %, 325 К.

 

Задачи

 

2.256. Вычислить удельные теплоемкости аргона и неона при постоянных объеме с _v и давлении с _P, считая эти газы идеальными.

2.257. Вычислить удельную теплоемкость с _{v , см} смеси двух газов гелия массой 4 г и водорода массой 2 г при постоянном объеме.

2.258. Разность удельных теплоемкостей с _p – c_v некоторого двухатомного газа равна 260 Дж/(кг∙К). Найти молярную массу М газа и его удельные теплоемкости с _p и с _v.

2.259. Определить удельную теплоемкость с _v смеси газов, содержащей V ₁ = 10 л азота и V ₂ = 2 л кислорода. Газы находятся при одинаковых условиях.

2.260. Определить удельную теплоемкость с _p смеси азота и аргона, если количество вещества ν₁ азота равно 2 моль, а количество вещества аргона равно 4 моль.

2.261. Смесь газов состоит из азота и криптона, взятых при одинаковых условиях и в равных объемах. Определить удельную теплоемкость с _p смеси при постоянном давлении.

2.262. Удельная теплоемкость при постоянном давлении некоторого газа 970 Дж/(кг·К), молярная масса его равна μ = 0,03 кг/моль. Определить, сколько степеней свободы имеют молекулы этого газа.

2.263. Плотность некоторого газа при нормальных условиях ρ = 1,25 кг/м³. Отношение удельных теплоемкостей 1,4. Определить удельные теплоемкости с _p и с _v этого газа.

2.264. Определить показатель адиабаты γ для смеси газов, состоящей из азота массой 8 г, углекислого газа массой 22 г и гелия массой 2 г.

2.265. Смесь газов состоит из аргона и кислорода, взятых при одинаковых условиях и в одинаковых объемах. Определить показатель адиабаты γ газовой смеси.

2.266. Отношение удельных теплоемкостей смеси, состоящей из нескольких молей водорода и 6 молей аммиака, равно 1,36. Определить число молей водорода в смеси.

2.267. Найти показательадиабаты γ смеси газов, содержащей азот и криптон, если количества вещества того и другого газа в смеси одинаковы.

2.268. Степень диссоциации газообразного азота α = 0,7. Найти удельную теплоемкость с _v такого частично диссоциировавшего азота.

2.269. Определить удельные теплоемкости с _p и с _v смеси, состоящей из кислорода в количестве ν₁ = 2 моль, аммиака – ν₂ = 4 моль и аргона массой 10 г.

2.270. Определить степень диссоциации α газообразного хлора, если показатель адиабаты γ такого частично диссоциировавшего газа равен 1,52.