Метризованные бинарные отношения

При анализе экспертной информации традиционных типов бинарных отношений, описываемых в п.2.3, может оказаться недостаточным. Суждения эксперта часто содержат не только качественные оценки предпочтительности альтернатив или их эквивалентности, но и количественные оценки степени предпочтительности одной альтернативы над другой или степени эквивалентности пары альтернатив.

Метризованным отношением  называется пара , где  – бинарное отношение на множестве ;  – множество чисел, характеризующих степень предпочтительности альтернативы  относительно альтернативы , либо степень эквивалентности альтернатив  и .

Граф метризованного бинарного отношения отличается от графа бинарного отношения R наличием числа  над каждой дугой, соединяющей вершины i и j. 

Матрицей смежности бинарного отношения является квадратная матрица , с элементами

          

 

Метризованное отношение  называется рефлексивным (антирефлексивным, асимметричным, антисимметричным, транзитивным, связным), если отношение R является   рефлексивным (антирефлексивным, асимметричным, антисимметричным, транзитивным, связным), Кроме того, свойство транзитивности для метризованных отношений может быть усилено.

Метризованное отношение  называется аддитивным, если для любой тройки индексов i, j, l таких, что ,  справедливо:  и .

Метризованное отношение  называется мультипликативным, если для любой тройки индексов i, j, l таких, что ,  справедливо:  и .

Для метризованного аддитивного бинарного отношения числа  показывают, на сколько элемент  превосходит элемент , а для мультипликативного - во сколько раз.

 называется метризованным отношением квазипорядка (толерантности, эквивалентности, строго порядка, нестрогого порядка, доминирования), если R является отношением квазипорядка (толерантности, эквивалентности, строго порядка, нестрогого порядка, доминирования).

Матрицу аддитивного метризованного отношения квазипорядка  записывают также в следующем виде:

 

а матрицу мультипликативного отношения квазипорядка   в виде:

 

 

 

Примеры

1. Аддитивным метризованным отношением квазипорядка является отношение, заданное следующим графом:

        

 

           3      0

0

 

 

5  2        4

 

3         2

0        0                    0   

               

Матрица данного отношения имеет вид:

 

.

 

  2. Мультипликативным метризованным отношением квазипорядка является отношение, заданное следующим графом:

       

 

                                      

                       1

                         6                4

                        1                             1

                        12            

                     2                       3       

 

                               

                                            1

                              

 

 

Матрица данного отношения имеет вид:

 

.

 

Упражнения к § 2

I. Основные упражнения

1. Пусть . Отношение . Задать отношение R: 

 1) матрицей; 2) сечениями.

2. Пусть . Доказать, что:

1) ,  ;

2) ; .

3. Доказать, что ; .

4. Доказать, что .

5. Доказать, что для любых отношений ,  справедливо:

1) = ;

2) = .

6. Доказать, что ; .

7. Доказать, что .

8. Рассмотрим матрицу  произведения отношений. Доказать, что , где произведение матриц ,  определяется по следующей формуле:

. (*)

9. Бинарные отношения ,  заданы матрицами:

, .

Построить матрицу отношения .

10. Доказать, что отношение R симметрично тогда и только тогда, когда .

11. Доказать, что если отношение R асимметрично, то оно антирефлексивно.

12. Найти максимум, минимум, миноранты, мажоранты бинарных отношений, заданных графами:

1)  :        а

                                     ;

           b            c               

2) :    a

 

                                     ;

          b            c

 

3) :    

               a

 

 

          b           c. 

13. Доказать, что максимум по частичному порядку единственен. Верно ли это утверждение для произвольного R?

14. Могут ли одновременно существовать: 1) максимумы и мажоранты; 2) минимумы и миноранты.

   15. Доказать, что: 1) ; 2) .

16. Бинарные отношения, заданными графами, дополнить до аддитивных и мультипликативных метризованных отношений квазипорядка:

1)

       4        

                              2

2              3              

 

                       

 

 

2) 

                

                              5

2      4  4