Определение напряжений в массиве грунта от действия нескольких вертикальных сосредоточенных сил, приложенных к границе грунтового основания (принцип Сен-Венана – принцип независимости действия сил).

 

Рис. 4.7. Схема к определению напряжений в массиве грунта от действия нескольких вертикальных сосредоточенных сил

 

Если к поверхности изотропного линейно-деформируемого полупространства приложено несколько сил (N ₁, N ₂,..., N_n), то при прямой пропорциональности между напряжениями и деформациями можно использовать принцип суперпозиции и найти значение σ_z в любой точке М простым суммированием:

 

,                           (4.9)

.

 

Коэффициент К, зависящий от безразмерного параметра r/ z, определяется так же, как и в предыдущем случае.

Определение напряжений σ_z в массиве грунта при действии любой распределенной нагрузки, приложенной к границе грунтового основания (метод элементарного суммирования).

Рис. 4.8. Схема к определению напряжений в массиве грунта

при действии любой распределенной нагрузки

 

Пусть к поверхности изотропного линейно-деформируемого полупространства в пределах площади загружения приложено распределенное давление. Загруженную площадь можно разбить на
небольшие прямоугольники и более сложные фигуры по ее контуру.
С некоторым приближением давление, распределенное в пределах
i -гo прямоугольника, можно заменить равнодействующей N_i , приложенной в центре тяжести этого давления. Вертикальное сжимающее напряжение от действия силы N_i составит .

Определив величину s _zi от нагрузки каждой из небольших фигур, на которые разбита площадь загружения, и произведя суммирование этих напряжений, определим напряжение s _zi от действия распределенной нагрузки (аналогично формуле (4.9)):

 

, .

Этот метод также иногда называют методом элементарных квадратов.

Коэффициент К, зависящий от безразмерного параметра r/ z, определяется так же, как и в предыдущих случаях.

Точность расчета увеличивается с уменьшением размеров отдельных элементов, однако при большом числе элементов значительно увеличивается трудоемкость задачи.

Определение напряжений σ _z при действии местного равномерно распределенного давления (метод угловых точек).

Если закон распределения давления по поверхности изотропного линейно-деформируемого полупространства известен, то элементарное суммирование можно заменить интегрированием.

 =  – при разворачивании этого интеграла получается очень громоздкая формула, поэтому при равномерно распределенном давлении после интегрирования по прямоугольной площади загружения значения для точек, расположенных под центром прямоугольной площади загружения (рис. 4.9, а), получим:

,                               (4.10)

 

где = f  – принимается по таблице 4.2; Р – равномерно распределенное давление.

 

Р   z b   l z

а

б

l

М

l 1

М

l

Рис. 4.9. Расчетные схемы к определению напряжений  при действии местного равномерно распределенного давления: а – для точек, расположенных под центром прямоугольной площади загружения; б – под угловыми точками прямоугольной площади загружения

 

При нахождении под угловыми точками прямоугольной площади загружения (например, под точкой М (рис. 4.9, б)),значения  (а не 2∙ z, т. к. b ₁=2 b), также можно принимать по таблице 4.2.

Напряжение под угловыми точками определяют по формуле
= .

Для определения вертикального напряжения в любой точке полупространства можно воспользоваться выражением = . Действительно, если проекция рассматриваемой точки М ' на горизонтальную поверхность полупространства (точка М)располагается в пределах площади загружения (рис. 4.10, а), то эту площадь можно разбить на четыре прямоугольника (I – Meaf, II – Mfbg, III – Mgch,
IV – Mhde)так, чтобы точка М была угловой точкой каждого из них.

 

а

б

 

Рис. 4.10. Расчетные схемы к определению напряжений  при действии местного равномерно распределенного давления: а – для точек, расположенных внутри прямоугольной площади загружения; б – под точками, расположенными вне прямоугольной площади загружения

 

Таблица 4.2

Определение коэффициента α

 

ζ = 2z / b	Коэффициент α для фундаментов
	Круглых