С чем, на Ваш взгляд, могут быть связаны трудности школьника при его применении?

Возможные трудности:

1. При последовательном исключении переменных, если не правильно применить перемещение строк или же неправильно отнять строки или столбцы друг от друга;

2. Это не является обязательным, но при приведении к треугольному виду желательно организовывать 1 или -1 верхнем углу матрицы, чтобы не совершать операции с большими числами, иначе высока вероятность ошибиться;

3. При смене местами столбцов, необходимо помнить, что меняются вместе с ними и положение неизвестных (x, y, z). Желательно столбцы подписать x, y, z, чтобы не запутаться и правильно написать эквивалентную систему.

3.Решение системы методом последовательного исключения неизвестных:

1. Запишем расширенную матицу:

 

2. С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к ступенчатому (треугольному) виду.

или  или

3. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

4. Найдем неизвестные. Ответ:

4. Составьте для школьника «памятнику» применения метода последовательного исключения неизвестных на примере решенной системы.

Памятка.

1. Обратить внимание на расположение неизвестных в системе уравнений: каждая неизвестная одного уравнения должная располагаться в один столбец с той же неизвестной в остальных уравнениях:

2. Выписать расширенную матрицу:

Для справки: если речь идет об обычной матрице системы, то в этом случае записываются только коэффициенты при неизвестных (свободные члены, которые находятся за вертикальной (разделительной) чертой, не записываются и сама черта в том числе!).

3. Подписать столбцы соответственно обозначениям их неизвестных (дальше обозначения писать не буду, запомните или запишите сами):

 

4. Привести матрицу к (верхнему или нижнему) треугольному виду. Для определенности приедем к верхнему треугольному виду, когда нули находятся ПОД главной диагональю:

4.1. Приведем матрицу к удобному виду – верхнем левом углу организуем 1 или -1 (это не обязательно, но желательно), поменяв местами верхние две строки:

4.2. В первом столбце вместо двух нижних чисел (9 и 3) необходимо получить нули. Начинаем работать со второй строки – организуем ноль на позиции 9. Для этого умножим первую строку на 9 и прибавим ее ко второй строке:

 или

4.3. Теперь организуем ноль на позиции 3 в первом столбце. Для этого умножим первую строку на 3 и прибавим еектретей строке:

 или

4.3. Организуем 1 или -1 на следующей «ступени», на позиции 34. Помним, что первый столбец это коэффициенты при x, второй – коэффициенты при y, третий – коэффициенты при z. Поменяем местами второй и третий столбцы. Умножим вторую строку на -1 и прибавим к ней третью.

4.4. Заключительный этап элементарных преобразований. На нем нужно получить еще один 0 на позиции 4 (второй столбец, третья строка). Для этого умножим вторую строку на 4 и прибавим еектретей строке:

Конечная расширенная матрица и будет треугольным видом начальной.

5. Запишем эквивалентную исходной систему уравнений:

Найдем неизвестные:

Из уравнения третьего уравнения y= –1.

Подставим y во второе уравнение, находим, что z= –5.

Подставляя найденные значения z и y в первое уравнение, находим, что x=3.

 

Ответ: x = 3, y = –1, z = – 5.

Выполним проверку.
1. По эквивалентной системе:	2. По исходной системе:
Верно.	Верно.
Вывод: система методом Гаусса решена верно.

Выделите возможные ошибки. Возможны те же ошибки, которые приведены во втором пункте вопроса.

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ 10

Задача № 10 (Бобылева О.В.)

«На уроке изучения нового материала по теме «Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби» ученикам был предложен следующий алгоритм:

1. Разложите дроби на множители.

2. Если знаменатель имеет вид  или содержит множитель  , то числитель и знаменатель следует умножить на  . Если знаменатель имеет вид  , то числитель и знаменатель дроби надо умножить на выражение, сопряженное знаменателю.

3. Преобразуйте числитель и знаменатель дроби, если возможно, то сократите полученную дробь».

Вопросы к ситуации:

1. Сформулируйте теорему о строении простого алгебраического расширения.

2. Чем отличается метод освобождения от иррациональности в знаменателе дроби, рассматриваемый в теореме, отприведенного на уроке?

3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби , используя обе схемы.

4. Предложите задания для урока-закрепления по данной теме (8 класс).

Решение:

1) Любую иррациональную дробь можно представить в виде многочлена степень которого совпадает с максимальной степенью корня в знаменатели.

Пусть a — алгебраический над полем P элемент положительной степени n. Тогда любой элемент поля P(a)однозначно представим в виде линейной комбинации n элементов 1, a,..., an-1 с коэффициентами из Р.

2) Данная теореме сложна в понимании для 8-ого класса, так как поля, кольца в школьном курсе не проходятся.

3) 1 способ (который дан в самой пед. ситуации)

 = =

2 способ (метод освобождения от иррациональности)

4)