Тема 5. Непрерывные случайные величины НСВ. Дифференциальная и интегральная функции НСВ.

Тема 5. Непрерывные случайные величины НСВ. Дифференциальная и интегральная функции НСВ.

Дифференциальная функция распределения

 

Напомним, что случайная величина - это величина, которая в результате эксперимента (опыта, испытания) принимает одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.

Непрерывной СВ называется такая СВ, которая может принимать любые значения некоторого промежутка (своего для каждой СВ).

Поясним на примере. Пусть СВХ – время, измеряемое в минутах.

 

Рис.1 Гистограмма распределения вероятностей времени, измеряемого с точностью до одной минуты

 

Вероятность каждого значения СВпредставляет собой площадь прямоугольника. Поскольку интервалы времени одинаковы (в данном случае одна минута), то высота каждого прямоугольника пропорциональна значению вероятности. Сумма всех вероятностей равна 1. Предположим, что время измеряется более точно, Например, с точность в 0,5 минуты.

 

Рис. 2. Гистограмма распределения вероятностей времени, измеряемого с точностью до половины минуты

 

Продолжим процесс. Уменьшим интервал до четверти минуты.

 

Рис.3 Гистограмма распределения вероятностей времени, измеряемого с точностью до одной четверти минуты

Время непрерывная СВ, которая может принимать любые значения в заданном интервале. Мы можем определить интервал времени в ¼ минуты, в 1/10, 1/100 и т.д. Число прямоугольников, составляющих гистограмму распределения, будет возрастать и они будут становиться все уже и уже. Но вероятность каждого значения будет все также измеряться площадью прямоугольников и их сумма будет равна 1. При неограниченном уменьшении интервала времени гистограмма распределения имеет тенденцию в пределе к превращению в сглаженную функцию.

 

Рис. 3. Кривая распределения вероятностей времени, измеряемого с точностью до бесконечно малой величины.

 

Эта функция обозначается  и называется дифференциальной функцией распределения вероятностей непрерывной СВ или плотностью вероятности или плотностью распределения.

Характерным для непрерывной СВ является то, что ее возможные значения заполняют некоторый интервал, перечислить все возможные значения непрерывной СВ нельзя, а можно только указать границы, в которых они заключены.

Дифференциальная функция также задает закон распределения СВ, но определяется только для НСВ.

 

График f (x) называется кривой распределения.

Решение.

Мы знаем, что все значения функции F(x) находятся в интервале от нуля до единицы. При значении х≤-1 F(x)=0, при значении х >0 F(x)=1.

F(x) =(х+1)/3	Х
1	2
0	-1

 

Откладываем на оси Y точки 0 и 1, соответствующие предельным значениям F(x). Откладываем на оси Х точки -1 и 2 и проводим от них прямые линии вправо и влево (бесконечные). Поскольку функция линейная, то соединяем точки прямой.

 

F(x)

1)  

	1

У=(х+1)/3	Х
1/2 1	2
Х 0	-1

2

1

0

-1

 

2) Определим вероятность того, что в результате испытания СВ Х примет значение принадлежащее интервалу ]0;1[.

Р(0<Х<1) =F(1) - F(0) =  - =  - = .

 

Геометрически:

			Х

 

Вероятность Р (a<Х<b) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми х=a и х=b.

 

Вероятностный смысл

Числовые характеристика НСВ

Определим математическое ожидание и дисперсию для непрерывных случайных величин.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл вида:

М(Х) =           (6)

Дисперсией непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл вида:

D(Х) = s2 =                (7)

 

Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины называется квадратный корень из дисперсии 

s=                               (8)

 

 

Моменты случайных величин

Начальным моментом k-го порядке (u_k) случайной величины Х называется математическое ожидание ее k-й степени:

Дискретная случайная величина	Непрерывная случайная величина
(9)	(10)

 

Центральным моментом к-го порядка (m_к) случайной величины Х называют математическое ожидание к-ой степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:

Дискретная случайная величина	Непрерывная случайная величина
(11)	(12)

 

Начальный момент первого порядка u₁ представляет собой математическое ожидание случайной величины, а центральный момент второго порядка m₂ - дисперсию случайной величины.

Центральный момент 3-го порядка применяется для характеристики скошенности или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии):

                       (13)

 

Центральный момент 3-го порядка применяется для характеристики крутости или эксцесса распределения (коэффициент эксцесса):

                                     (14)

Величина х_р, определяемая равенством F(х_р) = P, называется квантилем; квантиль х _0,5 называют медианой.

    Если плотность имеет максимум, то значение х, при котором f(x)=max, называется модой.

 

Тема 5. Непрерывные случайные величины НСВ. Дифференциальная и интегральная функции НСВ.