Решение системы линейных алгебраических уравнений

 

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:  a x 11 1 + a 12 2 x = b 1;

                                                                        

 a 21 1 x + a 22 2 x = b 2.

В матричной форме эта система может быть записана в виде AX = B, где матрицы A, B, X имеют вид:

 a A=  11  a 21

a 12      b 1       x 1  ; B=  ; X=  . a 22     b 2       x 2 

Решение системы уравнений в матричной форме записи представляется выражением:

X = A⁻¹B,

где _A ⁻¹ – матрица, обратная матрице A.

В MATLAB это решение может быть найдено при выполнении выражений:

» X=inv(A)*B или » X=A\B.

П р и м е р. С использованием MATLAB найти решение системы линейных уравнений:  x ₁ + x ₂ = 2;

                                                                            

 x ₁ + 2 x ₂ = 5.

Р е ш е н и е: 

» A = [1 1;1 2];	Задание матрицы А
» B = [3; 5];	Задание вектор-столбца В
» X=A\B	Решение матричного уравнения
Х =  1  2	Ответ системы

 

1.1.4. Операторы: (двоеточие) и. (точка)

 

Оператор: (двоеточие) используется для создания упорядоченной последовательности чисел с равноотстоящими значениями. Формат записи этого оператора:

[Начальное_значение]:[ Шаг]:[Конечное_значение]

Если шаг не задан, то он принимается равным 1 или –1 в зависимости от того, больше конечное значение начального значения или меньше. При его использовании создаётся вектор:

» k = 2:2:10	Задаётся последовательность k с шагом 2
k =  2 4 6 8 10	Ответ системы
» m = 0:2	Задаётся последовательность m с шагом 1
m =  0 1 2	Ответ системы
» s=sin(m)	Использование последовательности m
s =	Ответ системы

0 0.8415 0.9093

 

При необходимости осуществления почленного умножения (или деления) элементов одного массива на элементы другого массива (той же размерности) используются соответственно операторы (.*) и (./). Например:

» m+s	Алгебраическое сложение векторов m, s
ans =  0 1.8415 2.9093	Ответ системы
» m.*s	Почленное умножение элементов m, s
j =  0 0.8415 1.8186	Ответ системы

 

Для осуществления операции возведения в степень элементов массива используется операция ".^ ".

 

Построение графиков

 

Одной из самых привлекательных черт системы MATLAB является визуализация вычислений. Для построения графиков функций может использоваться функция plot.

Эта функция имеет различные формы записи в зависимости от набора входных аргументов. Если y – вектор, функция plot(y) производит построение кусочно-линейного графика элементов y в зависимости от индекса элементов y. Если функция plot(x,y) имеет два векторных аргумента одинаковой размерности, то будет построен график y в зависимости от x.

Функция plot может иметь несколько пар аргументов x – y. В этом случае она изображает несколько функций y(x) кривыми разного цвета, используя предопределённый (но изменяемый пользователем) список цветов. Например, plot(x1, y1, x2, y2, x3, y3) – выстраиваются три графика функции: y1(x1), y2(x2), y3(x3).

Также имеется возможность определять цвет, стиль линии и маркеры с помощью ещё одного аргумента функции plot:

plot(x,y,'color_style_marker')

где color_style_marker – это символьная строка (ограниченная одиночными кавычками), характеризующая цвет, стиль линии и тип маркера:

• символы определения цвета: 'c', 'm', 'y', 'r', 'g', 'b', 'w', 'k'. Они соответствуют цветам cyan, magenta, yellow, red, green, blue, white, black;

• обозначения стиля линии: '-' сплошная, '--' пунктирная, ':' штриховая, '-.' штрихпунктирная;

• типы маркера: '+', 'o', '*', 'x'.

Например, выражение: plot(x, y, 'r--o') вычерчивает красную пунктирную кривую и устанавливает маркеры «кружок» в каждой точке данных. 

Любая из трёх перечисленных составляющих color_style_marker может быть пропущена. Если определяется тип маркера, а стиль линии опущен, система MATLAB строит только маркеры для этой кривой.

На график дополнительно можно нанести сетку из координатных линий, информацию о кривой (заголовок графика), а также обозначить координатные оси.

Нанесение координатной сетки на график осуществляется с помощью функции grid, к которой следует обратиться сразу после обращения к функции plot:

» plot(x, y), grid

Заголовок графика выводится с помощью процедуры title. Если после обращения к процедуре plot вызвать title таким образом: title(‘<текст>’),

то над графиком появится текст, записанный между апострофами в скобках. При этом следует помнить, что текст всегда должен помещаться в апострофы.

Аналогично можно вывести объяснения к графику, которые размещаются вдоль горизонтальной оси (функция xlabel) и вдоль вертикальной оси (функция ylabel). 

Например, совокупность операторов 

» x = -4*pi: pi/100: 4*pi; 

» y = 2* sin(x+pi/3); 

» plot(x,y), grid; 

» title('Функция y = 2*sin(x+pi/3)'); 

» xlabel('x'); ylabel('y'); приведёт к оформлению поля фигуры в виде: